已知數(shù)列a,b,c為各項都是正數(shù)的等差數(shù)列,公差為d(d>0),在a,b之間和b,c之間共插入m個實數(shù)后,所得到的m+3個數(shù)所組成的數(shù)列{an}是等比數(shù)列,其公比為q.
(1)若a=1,m=1,求公差d;
(2)若在a,b之間和b,c之間所插入數(shù)的個數(shù)均為奇數(shù),求所插入的m數(shù)的乘積(用a,c,m表示)
(3)求證:q是無理數(shù).
解:(1)由a=1,且等差數(shù)列a,b,c的公差為d,可知b=1+d,c=1+2d,
①若插入的數(shù)在a,b之間,則1+d=q2,1+2d=q3,消去q可得(1+2d)2=(1+d)3,d=.
②若插入的數(shù)在b,c之間,則1+d=q,1+2d=q3,消去q可得1+2d=(1+d)3,此方程無正根.
故所求公差d=
(2)設在a,b之間插入l個數(shù),在b,c之間插入t個數(shù),則l+t=m,
【由等比中項得:】
在等比數(shù)列{an}中,∵a1=a, al+2=b=, am+3=c,akam+4-k=a1am+3=ac(k=2,3,···,m+2),
∴(a2a3…am+2)2=(a2am+2)·(a3am+1)···(am+2a2)=(ac)m+1
又∵ql+1=>0,qt+1=>0,l,t都為奇數(shù),∴q可以為正數(shù),也可以為負數(shù).
① 若q為正數(shù),則a2a3…am+2=(ac),所插入m個數(shù)的積為;
②若q為負數(shù),a2,a3,…,am+2中共有+1個負數(shù),
當是奇數(shù),即m=4k-2(k∈N*)時,所插入m個數(shù)的積為;
當是偶數(shù),即m=4k(k∈N*)時,所插入m個數(shù)的積為.
綜上所述,當m=4k-2(k∈N*)時,所插入m個數(shù)的積為;
當m=4k(k∈N*)時,所插入m個數(shù)的積為.
注:可先將a2,a3,…,am+2用a和q表示,然后再利用條件消去q進行求解.
(3)∵在等比數(shù)列{an},由ql+1==,可得ql+1-1=,同理可得qm+2-1=,
∴qm+2-1=2(ql+1-1),即2ql+1-1=qm+2 (m≥l),
反證法:假設q是有理數(shù),
①若q為整數(shù),∵a,b,c是正數(shù),且d>0,∴|q|>1,在2ql+1-qm+2=q(2ql-qm+1)=1中,∵2ql+1-qm+2是q的倍數(shù),故1也是q的倍數(shù),矛盾.
②若q不是整數(shù),可設q=(其中x,y為互素的整數(shù),x>1),
則有()m+2=2()l+1-1,即ym+2=xm?l+1(2yl+1-xl+1),∵m≥l,可得m-l+1≥1,
∴ym+2是x的倍數(shù),即y是x的倍數(shù),矛盾
∴ q是無理數(shù).
解析
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
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科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年江蘇省高三練習數(shù)學 題型:解答題
已知數(shù)列a,b,c為各項都是正數(shù)的等差數(shù)列,公差為d(d>0),在a,b之間和b,c之間共插入m個實數(shù)后,所得到的m+3個數(shù)所組成的數(shù)列{an}是等比數(shù)列,其公比為q.
(1)若a=1,m=1,求公差d;
(2)若在a,b之間和b,c之間所插入數(shù)的個數(shù)均為奇數(shù),求所插入的m數(shù)的乘積(用a,c,m表示)
(3)求證:q是無理數(shù).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
已知數(shù)列a,b,c為各項都是正數(shù)的等差數(shù)列,公差為d(d>0),在a,b之間和b,c之間共插入m個實數(shù)后,所得到的m+3個數(shù)所組成的數(shù)列{an}是等比數(shù)列,其公比為q.
(1)若a=1,m=1,求公差d;
(2)若在a,b之間和b,c之間所插入數(shù)的個數(shù)均為奇數(shù),求所插入的m數(shù)的乘積(用a,c,m表示)
(3)求證:q是無理數(shù).
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