Question

一個(gè)袋子中裝有m個(gè)紅球和n個(gè)白球(m＞n≥4),它們除顏色不同外,其余都相同,現(xiàn)從中任取兩個(gè)球.

(1)若取出兩個(gè)紅球的概率等于取出一紅一白兩個(gè)球的概率的整數(shù)倍,求證:m必為奇數(shù);

(2)若取出兩個(gè)球顏色相同的概率等于取出兩個(gè)球顏色不同的概率,求滿足m+n≤20的所有數(shù)組(m,n).

Answer 1

解:(1)設(shè)“取出兩個(gè)紅球”為事件A,“取出一紅一白兩個(gè)球”為事件B,則P(A)=,P(B)= .

由題意得P(A)=kP(B)(k∈N^*).則有=k,可得m=2kn+1.

∵k,n∈N^*,∴m為奇數(shù).

(2)設(shè)“取出兩個(gè)白球”為事件C,則P(C)=.

由題意知P(A)+P(C)=P(B),即有+=.

可得到m+n=(m-n)²,從而m+n為完全平方數(shù).

又m＞n≥4及m+n≤20,得9≤m+n≤20.

得到方程組解得(不合題意舍去),

故滿足條件的數(shù)組(m,n)只有一組(10,6).