【題目】已知平行四邊形中,,,,是線段的中點(diǎn),現(xiàn)沿進(jìn)行翻折,使得與重合,得到如圖所示的四棱錐.
(1)證明:平面;
(2)若是等邊三角形,求平面和平面所成的銳二面角的余弦值.
【答案】(1)見(jiàn)解析(2)
【解析】
(1)利用余弦定理求得的長(zhǎng),由此利用勾股定理證得,從而得到、,由此證得平面.
(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用平面和平面的法向量,求得二面角的余弦值.
(1)證明:∵是線段的中點(diǎn),∴,
在中,由余弦定理得,
,
∴,∵,
∴,∴,,,
∵平面,平面,
∴平面.
(2)取的中點(diǎn),以為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)點(diǎn)與平行的直線為軸,所在直線為軸,所在直線為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)軸與交于點(diǎn),
∵,∴,
易知,∴,
則,,,,
,,,,
∵平面,
∴可取平面的法向量,
設(shè)平面的法向量,平面和平面所成的銳二面角為,
則,∴,得,
令,則,從而,
故平面和平面所成的銳二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)是最小正周期為2π的偶函數(shù),f'(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),當(dāng)x∈[0,π]時(shí),0≤f(x)≤1;當(dāng)x∈(0,π)且x≠時(shí), ,則函數(shù)y=f(x)-|sinx|在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )
A. 4 B. 6 C. 7 D. 8
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知為坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓:上頂點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為,離心率,圓:與直線相切.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若,,為橢圓上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn),直線,,的斜率分別為.
(i)若的中點(diǎn)為,求直線的方程;
(ii)若,證明:直線過(guò)定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】從某大學(xué)中隨機(jī)選取7名女大學(xué)生,其身高x(單位:cm)和體重y(單位:kg)數(shù)據(jù)如下表:
編號(hào) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
身高x | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 |
體重y | 52 | 52 | 53 | 55 | 54 | 56 | 56 |
(1)求y關(guān)于x的回歸方程;
(2)利用(1)中的回歸方程,分析這7名女大學(xué)生的身高和體重的變化,并預(yù)報(bào)一名身高為172cm的女大學(xué)生的體重.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)有關(guān)于x的一元二次方程.
(1)若a是從0、1、2、3四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù),是從0、1、2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù),求上述方程沒(méi)有實(shí)根的概率.
(2)若a是從區(qū)間內(nèi)任取的一個(gè)數(shù),,求上述方程沒(méi)有實(shí)根的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知正所在平面垂直平面,且邊在平面內(nèi),過(guò)、分別作兩個(gè)平面、(與正所在平面不重合),則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A.存在平面與平面,使得它們的交線和直線所成角為
B.直線與平面所成的角不大于
C.平面與平面所成銳二面角不小于
D.平面與平面所成銳二面角不小于
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】第十四屆全國(guó)冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)召開(kāi)期間,某校舉行了“冰上運(yùn)動(dòng)知識(shí)競(jìng)賽”,為了解本次競(jìng)賽成績(jī)情況,從中隨機(jī)抽取部分學(xué)生的成績(jī)(得分均為整數(shù),滿(mǎn)分100分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),請(qǐng)根據(jù)頻率分布表中所提供的數(shù)據(jù),解答下列問(wèn)題:
(1)求、、的值及隨機(jī)抽取一考生其成績(jī)不低于70分的概率;
(2)若從成績(jī)較好的3、4、5組中按分層抽樣的方法抽取5人參加“普及冰雪知識(shí)”志愿活動(dòng),并指定2名負(fù)責(zé)人,求從第4組抽取的學(xué)生中至少有一名是負(fù)責(zé)人的概率.
組號(hào) | 分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
第1組 | 15 | 0.15 | |
第2組 | 35 | 0.35 | |
第3組 | b | 0.20 | |
第4組 | 20 | ||
第5組 | 10 | 0.1 | |
合計(jì) | 1.00 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
當(dāng)時(shí),若在區(qū)間上恒成立,求的取值范圍.
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