Question

直線l過(guò)定點(diǎn)P（0，1），且與直線l₁：x-3y+10=0，l₂：2x+y-8=0分別交于A、B兩點(diǎn)、若線段AB的中點(diǎn)為P，求直線l的方程．

Answer 1

方法一，設(shè)A（x₀，y₀），由中點(diǎn)公式，有B（-x₀，2-y₀），
∵A在l₁上，B在l₂上，∴

x0-3y0+10=0 -2x0+2-y0-8=0

，解得

x0=-4 y0=2

，
∴kAP=

1-2

0+4

=-

1

4

，故所求直線l的方程為：y=-

1

4

x+1，
故所求直線l的方程為x+4y-4=0；
方法2二，設(shè)所求直線l方程為：y=kx+1，l與l₁、l₂分別交于M、N、
解方程組

y=kx+1 x-3y+10=0

，解得

x= 7 3k-1 y= 10k-1 3k-1

，∴N(

7

3k-1

，

10k-1

3k-1

)；
解方程組

y=kx+1 2x+y-8=0

，解得

x= 7 k+2 y= 8k+2 k+2

，∴N(

7

k+2

，

8k+2

k+2

)，
∵M(jìn)、N的中點(diǎn)為P（0，1），則有：

1

2

(

7

3k-1

+

7

k+2

)=0，∴k=-

1

4

．
故所求直線l的方程為x+4y-4=0；
方法3設(shè)所求直線l與l₁、l₂分別交于M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），P（0，1）為MN的中點(diǎn)，
則有

x1+x2=0 y1+y2=2

，可得

x2=-x1 y1y2=2-y1

代入l₂的方程得：2（-x₁）+2-y₁-8=0，即2x₁+y₁+6=0，
解方程組

x1-3y1+10=0 2x1+y1+6=0

，解得

x1=-4 y1=2

，所以M（-4，2）．
由兩點(diǎn)式：所求直線l的方程為x+4y-4=0．