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設橢圓方程為x2+
y2
4
=1，過點M（0，1）的直線l交橢圓于點A、B，O是坐標原點，點P滿足
OP
=
1
2
(
OA
+
OB
)，點N的坐標為(
1
2
，
1
2
)，當l繞點M旋轉時，求：
（1）動點P的軌跡方程；
（2）|
NP
|的最小值與最大值．
（1）直線l過點M（0，1）設其斜率為k，則l的方程為y=kx+1．
記A（x1，y1）、B（x2，y2），由題設可得點A、B的坐標是方程組
y=kx+1①
x2+
y2
4
=1②
的解．
將①代入②并化簡得，（4+k2）x2+2kx-3=0，所以
x1+x2=-
2k
4+k2
y1+y2=
8
4+k2
.
，
于是
OP
=
1
2
(
OA
+
OB
)=(
x1+x2
2
，
y1+y2
2
)=(
-k
4+k2
，
4
4+k2
)．
設點P的坐標為（x，y），則
x=
-k
4+k2
y=
4
4+k2
.
消去參數k得4x2+y2-y=0③
當k不存在時，A、B中點為坐標原點（0，0），也滿足方程③，所以點P的軌跡方
程為4x2+y2-y=0．
（2）由點P的軌跡方程知x2≤
1
16
，即-
1
4
≤x≤
1
4
．所以|
NP
|2=(x-
1
2
)2+(y-
1
2
)2=(x-
1
2
)2+
1
4
-4x2=-3(x+
1
6
)2+
7
12

故當x=
1
4
，|
NP
|取得最小值，最小值為
1
4
；當x=-
1
6
時，|
NP
|取得最大值，
最大值為
21
6
．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知動點A在直線l：x=1上，點C的坐標為（-1，0），經過點A垂直于直線l的直線，交線段AC的垂直平分線于點P．求點P的軌跡．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

設拋物線y2=8x的準線與x軸交于點Q，若過Q點的直線l與拋物線有公共點，求直線l的斜率的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的一個焦點為(
2
，0)，且長軸長為短軸長的
3
倍．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設橢圓的下頂點為A，且橢圓與直線y=kx+m（k≠0）相交于不同的兩點M，N．當|AM|=|AN|時，求m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1兩漸近線為l1、l2，過橢圓C的右焦點F作直線l，使l⊥l1，又設l與l2交于點P，l與C兩交點自上而下依次為A、B；
（1）當l1與l2夾角為
π
3
，雙曲線焦距為4時，求橢圓C的方程及其離心率；
（2）若
FA
=λ
AP
，求λ的最小值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓焦距為2，離心率為
1
2

（1）求橢圓的標準方程
（2）若直線l過點（1，2）且傾斜角為45°且與橢圓相交于A，B兩點，求弦長|AB|．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓C：
x2
4
+
y2
m
=1（0＜m＜4）的左頂點為A，M是橢圓C上異于點A的任意一點，點P與點A關于點M對稱．
（1）若點P的坐標為（4，3），求m的值；
（2）若橢圓C上存在點M，使得OP⊥OM，求實數m的最大值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
4
+
y2
3
=1，直線l過點M（m，0）．
（Ⅰ）若直線l交y軸于點N，當m=-1時，MN中點恰在橢圓C上，求直線l的方程；
（Ⅱ）如圖，若直線l交橢圓C于A，B兩點，當m=-4時，在x軸上是否存在點p，使得△PAB為等邊三角形？若存在，求出點p坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)經過如下五個點中的三個點：P1(-1，-
2
2
)，P2（0，1），P3(
1
2
，
2
2
)，P4(1，
2
2
)，P5（1，1）．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）設點A為橢圓M的左頂點，B，C為橢圓M上不同于點A的兩點，若原點在△ABC的外部，且△ABC為直角三角形，求△ABC面積的最大值．

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