Question

某企業(yè)2003年的純利潤(rùn)為500萬元，因設(shè)備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降．若不能進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測(cè)從今年起每年比上一年純利潤(rùn)減少20萬元，今年初該企業(yè)一次性投入資金600萬元進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測(cè)在未扣除技術(shù)改造資金的情況下，第n年（今年為第一年）的利潤(rùn)為500（1+

1

2n

）萬元（n為正整數(shù)）．
（Ⅰ）設(shè)從今年起的前n年，若該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)為A_n萬元，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤(rùn)為B_n萬元（須扣除技術(shù)改造資金），求A_n、B_n的表達(dá)式；
（Ⅱ）依上述預(yù)測(cè)，從今年起該企業(yè)至少經(jīng)過多少年，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤(rùn)超過不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)？

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題設(shè)，A_n=（500-20）+（500-40）+…+（500-20n），B_n=500[（1+

1

2

）+（1+

1

22

）+…+（1+

1

2n

）]-600．由此能夠?qū)С鯝_n、B_n的表達(dá)式．
（Ⅱ）由題意知B_n-A_n=（500n-

500

2n

-100）-（490n-10n²）=10n²+10n-

500

2n

-100=10[n（n+1）-

50

2n

-10]．再由函數(shù)的單調(diào)性可知至少經(jīng)過4年，該企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤(rùn)超過不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)．

解答：解：（Ⅰ）依題設(shè)，A_n=（500-20）+（500-40）+…+（500-20n）=490n-10n²；
B_n=500[（1+

1

2

）+（1+

1

22

）+…+（1+

1

2n

）]-600=500n-

500

2n

-100．
（Ⅱ）B_n-A_n=（500n-

500

2n

-100）-（490n-10n²）
=10n²+10n-

500

2n

-100=10[n（n+1）-

50

2n

-10]．
因?yàn)楹瘮?shù)y=x（x+1）-

50

2n

-10在（

1

2

，+∞）上為增函數(shù)，
當(dāng)1≤n≤3時(shí)，n（n+1）-

50

2n

-10≤12-

50

8

-10＜0；
當(dāng)n≥4時(shí)，n（n+1）-

50

2n

-10≥20-

50

16

-10＞0．
∴僅當(dāng)n≥4時(shí)，B_n＞A_n．
答：至少經(jīng)過4年，該企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤(rùn)超過不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式、數(shù)列求和、不等式的等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力．