Question

4．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，$-\frac{c}{cosB}$是$\frac{cosB}$與$\frac{a}{cosA}$的等差中項(xiàng)且a=8，△ABC的面積為$4\sqrt{3}$，則b+c的值為$4\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由等差數(shù)列的性質(zhì)，正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式可求sinC=-2sinCcosA，結(jié)合sinC≠0，可得cosA=-$\frac{1}{2}$，由余弦定理可得：64=（b+c）²-bc，利用三角形面積公式可求bc=16，聯(lián)立可得b+c的值．

解答 解：∵由已知可得$\frac{-2c}{cosB}$=$\frac{cosB}+$$\frac{a}{cosA}$，
∴利用正弦定理整理可得：sinAcosB+sinBcosA=-2sinCcosA，
∴sinC=-2sinCcosA，
∵sinC≠0，
∴解得cosA=-$\frac{1}{2}$，A=$\frac{2π}{3}$；
∵a=8，由余弦定理可得：64=b²+c²+bc=（b+c）²-bc，①
∵△ABC的面積為$4\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$bc，可得：bc=16，②
∴聯(lián)立①②可得：b+c=4$\sqrt{5}$．
故答案為：4$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，余弦定理，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．