Question

（本題滿分18分；第（1）小題5分，第（2）小題5分，第（3）小題8分）
設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為，若數(shù)列中任意（不同）兩項(xiàng)之和仍是該數(shù)列中的一項(xiàng)，則稱該數(shù)列是“封閉數(shù)列”.
（1）若，求證：該數(shù)列是“封閉數(shù)列”；
（2）試判斷數(shù)列是否是“封閉數(shù)列”，為什么？
（3）設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，若公差，試問：是否存在這樣的“封閉數(shù)列”，使；若存在，求的通項(xiàng)公式，若不存在，說明理由.

Answer 1

略

（1）證明：，--------------------------------------------1分
對任意的，有
，---------------------------------------------3分
于是，令，則有-------------------------5分（2），---------------------------------------------------------7分
令，-----------------------------------------9分
所以數(shù)列不是封閉數(shù)列；---------------------------------------------------10分
（3）解：由是“封閉數(shù)列”，得：對任意，必存在使
成立，----------------------------------------------------11分
于是有為整數(shù)，又是正整數(shù)。-------------------------------13分
若則，所以，-----------------------14分
若，則，所以，------------------------16分
若，則，于是
，所以，------------------------------------------17分
綜上所述，，顯然，該數(shù)列是“封閉數(shù)列”。---------------- 18分