Question

【題目】如圖，菱形ABCD與正三角形BCE的邊長均為2，它們所在平面互相垂直，F(xiàn)D⊥平面ABCD，且 ．

（1）若∠BCD=60°，求證：BC⊥EF；
（2）若∠CBA=60°，求直線AF與平面FBE所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，過點E作EH⊥BC于H，連接HD，∴EH= ．

∵平面ABCD⊥平面BCE，EH平面BCE，平面ABCD∩平面BCE=BC，

∴EH⊥平面ABCD．

又∵FD⊥平面ABCD，F(xiàn)D= ，∴FD∥EH，且FD=EH．

∴四邊形EHDF為平行四邊形，

∴EF∥HD，

在等邊三角形BCD中，BC⊥DH，則BC⊥EF

（2）解：連接HA，由（1），得H為BC中點，又∠CBA=60°，△ABC為等邊三角形，

∴HA⊥BC，分別以HB，HA，HE為x，y，z軸建立空間直角坐標系H﹣xyz．

則B（1，0，0），F(xiàn)（﹣2， ， ），E（0，0， ），A（0， ，0），

=（﹣3， ， ）， =（﹣1， ，0）， =（﹣1，0， ）， =（﹣2，0， ），

設平面EBF的法向量為 =（x，y，z），

由 令z=1，

得 =（ ，2，1），∴直線AF與平面EBF所成角的正弦值為| |= ．

【解析】（1）過點E作EH⊥BC于H，連接HD，證明四邊形EHDF為平行四邊形，可得EF∥HD，即可證明BC⊥EF；（2）若∠CBA=60°，建立空間直角坐標系，求出平面EBF的法向量，即可求直線AF與平面FBE所成角的正弦值．
【考點精析】關于本題考查的空間中直線與直線之間的位置關系和空間角的異面直線所成的角，需要了解相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能得出正確答案．