Question

如圖所示,拋物線y=x²的動弦AB所在直線與圓x²+y²=1相切,分別過點A、B的拋物線的兩條切線相交于點M,求點M的軌跡方程.

(文)已知函數(shù)f(x)=x³+(a-1)x²+bx(a、b為常數(shù))在x=1和x=4處取得極值.

(1)求函數(shù)f(x)的解析式;

(2)當x∈［-2,2］時,函數(shù)y=f(x)的圖象在直線5x+2y-c=0的下方,求實數(shù)c的取值范圍.

Answer 1

答案：解法一:設拋物線的弦AB與圓x²+y²=1切于點P(x₀,y₀),則x₀²+y₀²=1,過P點的圓的切線方程為x₀x+y₀y=1.

由得y₀x²+x₀x-1=0.(*)

由Δ=x₀²+4y₀=-y₀²+4y₀+1＞0,得2＜y₀＜2+.

又∵-1≤y₀≤1且y₀≠0,∴2＜y₀≤1且y₀≠0.

令A(x₁,x₁²),B(x₂,x₂²),知x₁、x₂是方程(*)的兩個實根,由根與系數(shù)的關(guān)系,得x₁+x₂=①,x₁x₂=②.

過A點的拋物線的切線AM的方程為y-x₁²=2x₁(x-x₁),即y=2x₁x-x₁².③

同理,BM的方程為y=2x₂x-x₂².④

聯(lián)立①②③④,解得∴x₀=

代入x₀²+y₀²=1得()²+()²=1,

整理,得y²-4x²=1(x∈R,y≤-1或y＞),這就是點M的軌跡方程.

解法二:設直線AB的方程為y=kx+b,且A(x₁,x₁²),B(x₂,x₂²),

∵直線AB與圓相切,故=1,即b²=1+k².

由得x²-kx-b=0,

由Δ=k²+4b=b²+4b-1＞0,得b＜-2或b＞-2+.

又∵b²=1+k²≥1,∴b＜-2或b≥1.由根與系數(shù)關(guān)系有x₁+x₂=k,x₁x₂=-b.

又過點A的拋物線的切線方程為y-x₁²=2x₁(x-x₁),即y=2x₁x-x₁².①

同理,過點B的拋物線的切線方程為y=2x₂x-x₂².②

聯(lián)立①②解得設M=(x,y),則

又∵b²=1+k²,∴y²-4x²=1(x∈R,y≤-1或y＞2+),這就是點M的軌跡方程.

(文)解:(1)f′(x)=x²+(a-1)x+b,

由題設得解之,得∴f(x)=x³-x²+4x.

(2)由題設知f(x)＜-(5x-c),即x³-x²+4x＜-(5x-c),∴c＞x³-5x²+13x.

設Q(x)=x³-5x²+13x,x∈［-2,2］.

c只要大于Q(x)的最大值即可.Q′(x)=2x²-10x+13,當x∈［-2,2］時,Q′(x)＞0,

∴Q(x)_max=Q(2)=.∴c＞.