【題目】已知極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合,極軸與x軸的非負半軸重合.曲線 (t為參數(shù)),曲線C2的極坐標方程為ρ=ρcos2θ+8cosθ. (Ⅰ)將曲線C1 , C2分別化為普通方程、直角坐標方程,并說明表示什么曲線;
(Ⅱ)設(shè)F(1,0),曲線C1與曲線C2相交于不同的兩點A,B,求|AF|+|BF|的值.
【答案】解:(Ⅰ)曲線 (t為參數(shù)),
將曲線C1的參數(shù)方程消去參數(shù)t,
化為普通方程得y=﹣x+1,表示一條直線.
曲線C2的極坐標方程為ρ=ρcos2θ+8cosθ.
由cos2θ=1﹣2sin2θ,得曲線C2的方程可變形為ρ2sin2θ=4ρcosθ,
化為直角坐標方程可得y2=4x,曲線C2表示頂點在原點,焦點為(1,0)的拋物線
(Ⅱ)由 ,消去y,可得x2﹣6x+1=0
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=6,
由題意知F(1,0)為曲線C2的焦點
所以|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=x1+x2+2=8
【解析】(Ⅰ)曲線C1的參數(shù)方程消去參數(shù)t,化為普通方程得y=﹣x+1,表示一條直線;由cos2θ=1﹣2sin2θ,得曲線C2的方程可變形為ρ2sin2θ=4ρcosθ,化為直角坐標方程可得y2=4x,曲線C2表示頂點在原點,焦點為(1,0)的拋物線.(Ⅱ)由 ,得x2﹣6x+1=0,由題意知F(1,0)為曲線C2的焦點,由此能求出|AF|+|BF|的值.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)h(x)=(m2﹣5m+1)xm+1為冪函數(shù),且為奇函數(shù).
(1)求m的值;
(2)求函數(shù)g(x)=h(x)+ 在x∈[0, ]的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關(guān)系,隨機調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭,得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)表:
收入x(萬元) | 8.2 | 8.6 | 10.0 | 11.3 | 11.9 |
支出y(萬元) | 6.2 | 7.5 | 8.0 | 8.5 | 9.8 |
根據(jù)上表可得回歸直線方程 ,其中 , = ﹣ ,據(jù)此估計,該社區(qū)一戶居民年收入為15萬元家庭的年支出為萬元.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《中華人民共和國個人所得稅法》規(guī)定,公民全月工資、薪金(扣除三險一金后)所得不超過3500元的部分不必納稅,超過3500元的部分為全月應(yīng)納稅所得額個人所得稅計算公式:應(yīng)納稅額=工資-三險一金=起征點. 其中,三險一金標準是養(yǎng)老保險8%、醫(yī)療保險2%、失業(yè)保險1%、住房公積金8%,此項稅款按下表分段累計計算:
(1)某人月收入15000元(未扣三險一金),他應(yīng)交個人所得稅多少元?
(2)某人一月份已交此項稅款為1094元,那么他當月的工資(未扣三險一金)所得是多少元?
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【題目】閱讀與探究
人教A版《普通高中課程標準實驗教科書 數(shù)學(xué)4(必修)》在第一章的小結(jié)中寫到:
將角放在直角坐標系中討論不但使角的表示有了統(tǒng)一的方法,而且使我們能夠借助直角坐標系中的單位圓,建立角的變化與單位圓上點的變化之間的對應(yīng)關(guān)系,從而用單位圓上點的縱坐標、橫坐標來表示圓心角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù).因此,正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)與圓的幾何性質(zhì)(主要是對稱性)之間存在著非常緊密的聯(lián)系.例如,和單位圓相關(guān)的“勾股定理”與同角三角函數(shù)的基本關(guān)系有內(nèi)在的一致性;單位圓周長為與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期為是一致的;圓的各種對稱性與三角函數(shù)的奇偶性、誘導(dǎo)公式等也是一致的等等.因此,三角函數(shù)的研究過程能夠很好地體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想.
依據(jù)上述材料,利用正切線可以討論研究得出正切函數(shù)的性質(zhì).
比如:由圖1.2-7可知,角的終邊落在四個象限時均存在正切線;角的終邊落在軸上時,其正切線縮為一個點,值為;角的終邊落在軸上時,其正切線不存在;所以正切函數(shù)的定義域是.
(1)請利用單位圓中的正切線研究得出正切函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性;
(2)根據(jù)閱讀材料中途1.2-7,若角為銳角,求證: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,E、F分別是棱DD1、C1D1的中點.
(Ⅰ)證明:平面ADC1B1⊥平面A1BE;
(Ⅱ)證明:B1F∥平面A1BE;
(Ⅲ)若正方體棱長為1,求四面體A1﹣B1BE的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
(1)設(shè) ,若是偶函數(shù),求實數(shù)的值;
(2)設(shè),求函數(shù)在區(qū)間上的值域;
(3)若不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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