已知等差數列{an}的首項為a,公差為b;等比數列{bn}的首項為b,公比為a,其中a,b∈N+,
且a1<b1<a2<b2<a3.
(1)求a的值;
(2)若對于任意n∈N+,總存在m∈N+,使am+3=bn,求b的值;
(3)在(2)中,記{cn}是所有{an}中滿足am+3=bn,m∈N+的項從小到大依次組成的數列,又記Sn為{cn}的前n項和,tn和{an}的前n項和,求證:Sn≥Tn(n∈N).
【答案】
分析:(1)由a<a+b<ab<a+2b,a,b∈N
+,知
,由此能求出a的值;
(2)由a
m=2+(m-1)b,b
n=5•2
n-1由a
m+3=b
n可得5+(m-1)b=b•2
n-1.b(2
n-1-m+1)=5.由此能求出b的值;
(3)由(2)知a
n=5n-3,b
n=5•2
n-1,a
m=b
n-3=5•2
n-1-3,C
n=5•2
n-1-3,S
n=5(2
n-1)-3n,T
n=
n(5n-1).由此能夠證明S
n≥T
n(n∈N
+).
解答:解:(1)∵a<a+b<ab<a+2b,a,b∈N
+,
∴
,∴
,
∴
,∴
.
∴a=2或a=3(a=3時不合題意,舍去).∴a=2.
(2)a
m=2+(m-1)b,b
n=5•2
n-1由a
m+3=b
n可得
5+(m-1)b=b•2
n-1.∴b(2
n-1-m+1)=5.
∴b=5
(3)由(2)知a
n=5n-3,b
n=5•2
n-1,∴a
m=b
n-3=5•2
n-1-3
∴C
n=5•2
n-1-3,S
n=5(2
n-1)-3n,T
n=
n(5n-1).
∵S
1=T
1=2,S
2=T
2=9.
當n≥3時,S
n-T
n=5[2
n-
n
2-
n-1]
=5[(1+1)
n-
n
2-
n-1]
=5[(1+C
n1+C
n2+C
n3+…)-
n
2-
n-1]>5[1+n+
-
n
2-
n-1]=0.
∴S
n>T
n.綜上得S
n≥T
n(n∈N
+).
點評:本題考查數列的性質和應用,解題時要認真審題,仔細求解.