Question

定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足條件：f（x）不是常值函數(shù)，且f（2-x）=f（x）與f（x-1）=f（x+1）對(duì)任意x∈R成立，給出下列四個(gè)命題：
①f（x）為周期函數(shù)；
②f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱；
③f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；
④f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱．
其中所有正確命題的序號(hào)是

①②③

．

Answer 1

分析：在f（x）=f（2-x）中，令x=t+2：f（t+2）=f（-t），所以f（x+2）=f（-x），在f（x-1）=f（x+1）中，令x=t+1：f（t）=f（t+2），所以f（x）=f（x+2），故函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，f（x）是偶函數(shù)；由f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，且f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，知f（x）的圖象不能關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱．

解答：解：在f（x）=f（2-x）中，令x=t+2：f（t+2）=f（-t），所以f（x+2）=f（-x）
在f（x-1）=f（x+1）中，令x=t+1：f（t）=f（t+2），所以f（x）=f（x+2），
∴函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，故①和②正確；
由f（x+2）=f（-x）和f（x）=f（x+2），知：f（-x）=f（x），所以f（x）是偶函數(shù)，故③正確；
∵f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，且f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴f（x）的圖象不能關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，故④不正確．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意函數(shù)的周期性和對(duì)稱性的靈活運(yùn)用．