Question

若函數(shù)f（x）同時(shí)具有以下兩個(gè)性質(zhì)：①f（x）是偶函數(shù)；②對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f(

π

4

+x)=f(

π

4

-x)，則f（x）的解析式可以是（　　）

• A．f（x）=cos2x
• B．f(x)=cos(2x+

  π

  2

  )
• C．f（x）=cos6x
• D．f(x)=sin(4x+

  π

  2

  )

Answer 1

分析：考查各個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)是否是偶函數(shù)，且圖象關(guān)于x=

π

4

對(duì)稱，同時(shí)滿足這兩個(gè)條件的函數(shù)即為所求．

解答：解：由題意可得函數(shù)f（x）是偶函數(shù)且圖象關(guān)于x=

π

4

對(duì)稱．
由于f（x）=cos2x的圖象的對(duì)稱軸為2x=kπ，k∈z，即 x=

kπ

2

，k∈z，故不滿足條件．
由于f（x）=cos(2x+

π

2

)=-sin2x，不是偶函數(shù)，故不滿足條件．
由于f（x）=xos6x的對(duì)稱軸為 6x=kπ，k∈z，即 x=

kπ

6

，k∈z，故不滿足條件．
由于f（x）=sin（4x+

π

2

）=-cos4x，是偶函數(shù)，且對(duì)稱軸為4x=kπ，k∈z，即 x=

π

4

，k∈z，故滿足條件．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性，以及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．