(2011•天津模擬)如圖,橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)與一等軸雙曲線相交,M是其中一個交點,并且雙曲線的頂點是該橢圓的焦點F1,F(xiàn)2,雙曲線的焦點是橢圓的頂點A1,A2,△MF1F2的周長為4(
2
+1).設P為該雙曲線上異于頂點的任一點,直線PF1和PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D.
(Ⅰ)求橢圓和雙曲線的標準方程;
(Ⅱ)設直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2,證明k1•k2=1;
(Ⅲ)是否存在常數(shù)λ,使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立?若存在,求λ的值;若不存在,請說明理由.
分析:(Ⅰ)由題意知,確定橢圓離心率,利用橢圓的定義得到又2a+2c=4(
2
+1),解方程組即可求得橢圓的方程,等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點可求得該雙曲線的方程;
(Ⅱ)設點P(x0,y0),根據(jù)斜率公式求得k1、k2,把點P(x0,y0)在雙曲線上,即可證明結果;
(Ⅲ)設直線AB的方程為y=k(x+2),則可求出直線CD的方程為y=
1
k
(x-2),聯(lián)立直線和橢圓方程,利用韋達定理,即可求得|AB|,|CD|,代入|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|,求得λ的值.
解答:(Ⅰ)解:由題意知,橢圓離心率為
c
a
=
2
2
,得a=
2
c,
又2a+2c=4(
2
+1),所以可解得a=2
2
,c=2,
所以b2=a2-c2=4,
所以橢圓的標準方程為
x2
8
+
y2
4
=1
,
所以橢圓的焦點坐標為(±2,0),
因為雙曲線為等軸雙曲線,且頂點是該橢圓的焦點,
所以該雙曲線的標準方程為
x2
4
-
y2
4
=1
;
(Ⅱ)證明:設點P(x0,y0),
則k1=
y0
x0+2
,k2=
y0
x0-2
,
∴k1•k2=
y0
x0+2
y0
x0-2
=
y02
x02-4
,
又點P(x0,y0)在雙曲線上,
x02
4
-
y02
4
=1
,即y02=x02-4,
∴k1•k2=
y02
x02-4
=1;
(Ⅲ)解:假設存在常數(shù)λ,使得得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立,
則由(II)知k1•k2=1,
∴設直線AB的方程為y=k(x+2),則直線CD的方程為y=
1
k
(x-2),
y=k(x+2)與橢圓方程聯(lián)立,消y得:(2k2+1)x2+8k2x+8k2-8=0,
設A(x1,y1),B(x2,y2),
則由韋達定理得,x1+x2=
-8k2
1+2k2
,x1•x2=
8k2-8
1+2k2

∴|AB|=
1+k2
|x1-x2|=
4
2
(1+k2)
1+2k2
,
同理|CD|=
4
2
(1+k2)
2+k2

∵|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|,
∴λ=
1
|AB|
+
1
|CD|
=
3+3k2
4
2
(1+k2)
=
3
2
8

∴存在常數(shù)λ=
3
2
8
,使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立.
點評:本題考查橢圓與雙曲線的標準方程、直線與圓錐曲線的位置關系,考查了學生綜合運用知識解決問題的能力,屬于中檔題.
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OA
=(1,-2),
OB
=(a,-1),
OC
=(-b,0),a>0,b>0
,O為坐標原點,若A、B、C三點共線,則
1
a
+
2
b
的最小值是(  )

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3
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π
2
,若將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移
π
6
個單位得到函數(shù)y=g(x)的圖象,則y=g(x)是減函數(shù)的區(qū)間為( 。

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