【題目】某學校研究性學習小組對該校高三學生的視力情況進行調查,在高三的全體1000名學生中隨機抽取了100名學生的體檢表,并得到如下直方圖:
年級名次/是否近視 | 1-50 | 951-1000 |
近視 | 41 | 32 |
不近視 | 9 | 18 |
(1)若直方圖中后四組的頻數(shù)成等差數(shù)列,試估計全年級視力在5.0以下的人數(shù);
(2)學習小組成員發(fā)現(xiàn),學習成績突出的學生,近視的比較多,為了研究學生的視力與學習成績是否有關系,對年級名次在1~50名和951~1000名的學生進行了調查,得到如上述表格中數(shù)據(jù),根據(jù)表中的數(shù)據(jù),能否在犯錯的概率不超過0.05的前提下認為視力與學習成績有關系;
(3)在(2)中調查的100名學生中,按照分層抽樣在不近視的學生中抽取了9人,進一步調查他們良好的護眼習慣,并且在這9人中任取3人,記名次在1~50名的學生人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學期望.
附:
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | |
k | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ)分布列見解析,.
【解析】
試題(Ⅰ)先利用可得第一、二組的頻率,由已知條件可得第三、六組的頻率,進而可得視力在5.0以下的頻率,再利用可得全年級視力在5.0以下的人數(shù);(Ⅱ)先算出的值,再與表中的數(shù)據(jù)比較即可得在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為視力與學習成績有關系;(Ⅲ)先分析確定隨機變量的所有可能取值,再計算各個取值的概率即可得的分布列,進而利用數(shù)學期望公式即可得數(shù)學期望.
試題解析:(Ⅰ)設各組的頻率為,
依題意,前三組的頻率成等比數(shù)列,后四組的頻率成等差數(shù)列,故
,,1分
所以由得, 2分
所以視力在5.0以下的頻率為1-0.17=0.83, 3分
故全年級視力在5.0以下的人數(shù)約為4分
(Ⅱ)6分
因此在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為視力與學習成績有關系. 7分
(Ⅲ)依題意9人中年級名次在1~50名和951~1000名分別有3人和6人, 8分
可取0,1,2,3
,
,
,
X的分布列為
X | 0 | 1 | 2 | 3 |
P |
X的數(shù)學期望12分
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【題目】在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點為極點,以軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線的極坐標方程為,
(Ⅰ)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程;
(Ⅱ)設點,曲線與曲線交于兩點,求的值.
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【題目】已知橢圓,為橢圓的左、右焦點,點在直線上且不在軸上,直線與橢圓的交點分別為和,為坐標原點.
設直線的斜率為,證明:
問直線上是否存在點,使得直線的斜率滿足?若存在,求出所有滿足條件的點的坐標;若不存在,說明理由.
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【題目】已知兩點分別在軸和軸上運動,且,若動點滿足.
(1)求出動點P的軌跡對應曲線C的標準方程;
(2)一條縱截距為2的直線與曲線C交于P,Q兩點,若以PQ直徑的圓恰過原點,求出直線方程.
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【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若關于的不等式在上恒成立,求的取值范圍;
(Ⅱ)設函數(shù),在(Ⅰ)的條件下,試判斷在上是否存在極值.若存在,判斷極值的正負;若不存在,請說明理由.
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【題目】在心理學研究中,常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響,具體方法如下:將參加試驗的志愿者隨機分成兩組,一組接受甲種心理暗示,另一組接受乙種心理暗示,通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結果來評價兩種心理暗示的作用,現(xiàn)有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示,另5人接受乙種心理暗示.
(I)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的頻率。
(II)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù),求X的分布列與數(shù)學期望EX.
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【題目】設有下列四個命題:
:若,則;
:若,則;
:“”是“為奇函數(shù)”的充要條件;
:“等比數(shù)列中,”是“等比數(shù)列是遞減數(shù)列”的充要條件.
其中,真命題的是
A. ,B. ,C. ,D. ,
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