【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=ex(ax+b)(其中e=2.71828…),g(x)=x2+2bx+2,已知它們在x=0處有相同的切線.
(1)求函數(shù)f(x),g(x)的解析式;
(2)若函數(shù)F(x)=f(x)+g(x)﹣2(ex+x),試判斷函數(shù)F(x)的零點個數(shù),并說明理由;
(3)若函數(shù)f(x)在[t,t+1](t>﹣3)上的最小值為φ(t),解關(guān)于t的不等式φ(t)≤4e2 .
【答案】
(1)解:∵f(x)=ex(ax+b),g(x)=x2+2bx+2
∴f′(x)=ex(ax+a+b),g′(x)=2x+2b,
由題意它們在x=0處有相同的切線,
∴f′(0)=a+b=g′(0)=2b,∴a=b,
f(0)=b=g(0)=2,∴a=b=2,
∴f(x)=2ex(x+1),g(x)=x2+4x+2
(2)解:由題意F(x)=2xex+x2+2x+2,
∴F′(x)=2(ex+1)(x+1),
由F′(x)>0,得x>﹣1;由F′(x)<0,得x<﹣1,
∴F(x)在(﹣1,+∞)上單調(diào)遞增,在(﹣∞,﹣1)上單調(diào)遞減,
∴F(x)極小值=F(﹣1)=1﹣ >0,
∴函數(shù)F(x)的零點個數(shù)為0.
(3)解:f′(x)=2ex(x+2),由f′(x)>0,得x>﹣2,
由f′(x)<0,得x<﹣1,∴F(x)在(﹣2,+∞)單調(diào)遞增,在(﹣∞,﹣2)單調(diào)調(diào)遞減,
∵t>﹣3,∴t+1>﹣2.
①當(dāng)﹣3<t<﹣2時,f(x)在(t,﹣2)單調(diào)遞減,(﹣2,t+1)單調(diào)遞增,
∴ .
②當(dāng)t≥﹣2時,f(x)在[t,t+1]單調(diào)遞增,
∴
∴φ(t)= ,
當(dāng)﹣3<t<﹣2時,φ(t)≤4e2,
當(dāng)t≥﹣2時,φ(t)=2et(t+1),
當(dāng)﹣2≤t≤﹣1時,φ(t)≤4e2,
當(dāng)t>﹣1時,φ(t)=2et(t+1)是增函數(shù),又φ(2)=6e2,
∴﹣1<t≤2,
∴不等式φ(t)≤4e2的解集為(﹣3,2].
【解析】(1)由已知條件得f′(x)=ex(ax+a+b),g′(x)=2x+2b,f′(0)=a+b=g′(0)=2b,f(0)=b=g(0)=2,由此求出a=b=2,從而能求出f(x)=2ex(x+1),g(x)=x2+4x+2.(2)由題意F′(x)=2(ex+1)(x+1),由導(dǎo)數(shù)性質(zhì)得F(x)極小值=F(﹣1)=1﹣ >0,由此求出函數(shù)F(x)的零點個數(shù)為0.(3)f′(x)=2ex(x+2),由導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求出φ(t)= ,由此能示出不等式φ(t)≤4e2的解集.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】學(xué)校藝術(shù)節(jié)對同一類的,,,四項參賽作品,只評一項一等獎,在評獎揭曉前,甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對這四項參賽作品預(yù)測如下:
甲說:“是或作品獲得一等獎”;
乙說:“作品獲得一等獎”;
丙說:“,兩項作品未獲得一等獎”;
丁說:“是作品獲得一等獎”.
若這四位同學(xué)中只有兩位說的話是對的,則獲得一等獎的作品是__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù) ,且其圖象關(guān)于直線x=0對稱,則( )
A.y=f(x)的最小正周期為π,且在(0, )上為增函數(shù)
B.y=f(x)的最小正周期為π,且在(0, )上為減函數(shù)
C.y=f(x)的最小正周期為 ,且在 上為增函數(shù)
D.y=f(x)的最小正周期為 ,且在 上為減函數(shù)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩人進(jìn)行圍棋比賽,約定每局勝者得1分,負(fù)者得0分,比賽進(jìn)行到有一人比對方多2分或下滿6局時停止.設(shè)甲在每局中獲勝的概率為p(p> ),且各局勝負(fù)相互獨立.已知第二局比賽結(jié)束時比賽停止的概率為 .
(1)求p的值;
(2)設(shè)ξ表示比賽停止時已比賽的局?jǐn)?shù),求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為了探索一種新的教學(xué)模式,進(jìn)行了一項課題實驗,甲班為實驗班,乙班為對比班,甲乙兩班的人數(shù)均為50人,一年后對兩班進(jìn)行測試,測試成績的分組區(qū)間為[80,90)、[90,100)、[100,110)、[110,120)、[120,130),由此得到兩個班測試成績的頻率分布直方圖:
(1)完成下面2×2列聯(lián)表,你能有97.5%的把握認(rèn)為“這兩個班在這次測試中成績的差異與實施課題實驗有關(guān)”嗎?并說明理由;
成績小于100分 | 成績不小于100分 | 合計 | |
甲班 | a= | b= | 50 |
乙班 | c=24 | d=26 | 50 |
合計 | e= | f= | 100 |
(2)現(xiàn)從乙班50人中任意抽取3人,記ξ表示抽到測試成績在[100,120)的人數(shù),求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ.
附:K2= ,其中n=a+b+c+d
P(K2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.204 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x3﹣ ax2 , 且關(guān)于x的方程f(x)+a=0有三個不等的實數(shù)根,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.(﹣∞,﹣ )∪(0, )
B.(﹣ ,0)∪( ,+∞)
C.(﹣ , )
D.(﹣∞,﹣ )∪( ,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}當(dāng)n≥2時滿足 = + ,且a3a5a7= , + + =9,Sn是數(shù)列{ }的前n項和,則S4= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,AB為圓O的直徑,CD為垂直AB的一條弦,垂足為E,弦AG交CD于F.
(1)求證:E、F、G、B四點共圓;
(2)若GF=2FA=4,求線段AC的長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C:(a>b>0)的離心率為 ,若圓x2+y2=a2被直線x﹣y﹣=0截得的弦長為2
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)已知點A、B為動直線y=k(x﹣1),k≠0與橢圓C的兩個交點,問:在x軸上是否存在定點M,使得 為定值?若存在,試求出點M的坐標(biāo)和定值;若不存在,請說明理由.
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