如圖，A為橢圓上的一個動點，弦AB、AC分別過焦點F1、F2，當AC垂直于x軸時，恰好有AF1∶AF2＝3∶1．

(Ⅰ)求橢圓的離心率；

(Ⅱ)設(shè)．

①當A點恰為橢圓短軸的一個端點時，求λ1＋λ2的值；

②當A點為該橢圓上的一個動點時，試判斷是λ1＋λ2否為定值？若是，請證明；若不是，請說明理由．

答案：
解析：

　　解(Ⅰ)設(shè)，則．由題設(shè)及橢圓定義得

　　，消去得，所以離心率．3分

　　(Ⅱ)解法一：由(1)知，，所以橢圓方程可化為．

　�、佼�A點恰為橢圓短軸的一個端點時，，直線的方程為．

　　由得　，解得，

　　∴點的坐標為．

　　又，所以，，所以，．6分

　�、诋�A點為該橢圓上的一個動點時，為定值6．

　　證明　設(shè)，，則．

　　若為橢圓的長軸端點，則或，

　　所以．8分

　　若為橢圓上異于長軸端點的任意一點，則由得，，所以．

　　又直線的方程為，所以由得

．

　　，

　　∴．

　　由韋達定理得　，所以．同理．

　　∴．

　　綜上證得，當A點為該橢圓上的一個動點時，為定值6．14分

　　解法二：設(shè)，，則

　　∵，∴；………………8分

　　又①，②，將、代入②得：

　　即③；

　�、�①得：；……………12分

　　同理：由得，∴，∴．…14分


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的焦點，P為橢圓上的點，PF1⊥OX軸，且OP和橢圓的一條長軸頂點A和短軸頂點B的連線AB平行．
（1）求橢圓的離心率e
（2）若Q是橢圓上任意一點，證明∠F1QF2≤
π
2

（3）過F1與OP垂直的直線交橢圓于M，N，若△M F2N的面積為20
3
，求橢圓方程．

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（1）求橢圓的離心率e
（2）若Q是橢圓上任意一點，證明∠F1QF2≤
（3）過F1與OP垂直的直線交橢圓于M，N，若△M F2N的面積為，求橢圓方程．

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A．
B．
C．
D．

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如圖，已知A是橢圓上的一個動點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點，弦AB過點F2，當AB⊥x軸時，恰好有|AF1|=3|AF2|．
（1）求橢圓的離心率；
（2）設(shè)P是橢圓的左頂點，PA，PB分別與橢圓右準線交與M，N兩點，求證：以MN為直徑的圓D一定經(jīng)過一定點，并求出定點坐標．

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如圖，已知A是橢圓上的一個動點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點，弦AB過點F2，當AB⊥x軸時，恰好有|AF1|=3|AF2|．
（1）求橢圓的離心率；
（2）設(shè)P是橢圓的左頂點，PA，PB分別與橢圓右準線交與M，N兩點，求證：以MN為直徑的圓D一定經(jīng)過一定點，并求出定點坐標．

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