Question

從高三學(xué)生中抽取n名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，成績（單位：分）的分組及各數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖如圖所示，已知成績的范圍是區(qū)間[40，100），且成績在區(qū)間[70，90）的學(xué) 生人數(shù)是27人．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）試估計這n名學(xué)生的平均成績；
（Ⅲ）若從數(shù)學(xué)成績（單位：分）在[40，60）的學(xué)生中隨機選取2人進行成績分析，求至少有1人成績在[40，50）內(nèi)的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由直方圖可得成績分布在區(qū)間[70，90）的頻率，由頻率=

頻數(shù)

樣本容量

可得答案；
（Ⅱ）由平均數(shù)加權(quán)公式可得平均數(shù)為45×0.04+55×0.06+65×0.2+75×0.3+85×0.24+95×0.16，計算出結(jié)果既得；
（Ⅲ）由題意可得：樣本中成績在[40，50）和[50，60）上的學(xué)生分別有2人、3人，分別記為x，y；a，b，c．再由列舉法可得所有事件個數(shù)以及至少有1人成績在[40，50）內(nèi)的事件個數(shù)，進而得到答案．

解答：解：（Ⅰ）由直方圖可得成績分布在區(qū)間[70，90）的頻率為1-10（0.004+0.006+0.02+0.016）=0.54，
設(shè)樣本容量為n，則0.54=

27

n

，解得n=50；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，成績在區(qū)間[70，90）的頻率為0.24，
故得這n名學(xué)生的平均成績?yōu)?br />45×0.04+55×0.06+65×0.2+75×0.3+85×0.24+95×0.16=76.2；
（Ⅲ）樣本中成績在[40，50）上的學(xué)生有50×0.04=2人，記為x，y；
成績在[50，60）上的學(xué)生有50×0.06=3人，記為a，b，c．
從上述5人中任選2人的基本事件有：{x，y}，{x，a}，{x，b}，{x，c}，{y，a}，{y，b}，{y，c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，共10個，
記“從上述2人中任選2人，至少有1人在[40，50）上”為事件A，則事件A包含的基本事件有：{x，y}，{x，a}，{x，b}，{x，c}，{y，a}，{y，b}，{y，c}，共7個．
故所求概率P（A）=

7

10

．

點評：本題考查古典概型的求解和頻率分布的結(jié)合，列舉對事件是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．