Question

設向量

a

=(x+1，y)，

b

=(x-1，y)，點P（x，y）為動點，已知|

a

|+|

b

|=4．
（1）求點p的軌跡方程；
（2）設點p的軌跡與x軸負半軸交于點A，過點F（1，0）的直線交點P的軌跡于B、C兩點，試推斷△ABC的面積是否存在最大值？若存在，求其最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題設可得

(x+)2+y2

+

(x-1)2+1

=4根據(jù)橢圓的定義可判斷出動點P的軌跡M是以點E（-1，0），F(xiàn)（1，0）為焦點，長軸長為4的橢圓．由c和a求得b，點P的軌跡方程可得．
（2）直線BC的方程x=my+1與橢圓方程聯(lián)立消去x，設點B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）根據(jù)韋達定理可分別表示出y₁+y₂，y₁y₂進而表示出|BC|，表示點A到直線BC的距離，進而可表示三角形ABC的面積根據(jù)m的范圍確定面積的最大值．

解答：解：（1）由已知，

(x+)2+y2

+

(x-1)2+1

=4，
所以動點P的軌跡M是以點E（-1，0），F(xiàn)（1，0）為焦點，長軸長為4的橢圓．
因為c=1，a=2，則b²=a²-c²=3．
故動點P的軌跡M方程是

x2

4

+

y2

3

=1
（2）設直線BC的方程x=my+1與（1）中的橢圓方程

x2

4

+

y2

3

=1聯(lián)立消去x
可得（3m²+4）y²+6my-9=0，
設點B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）
則y1+y2=-

6m

3m2+4

，y1y2=

-9

3m2+4

，
所以|BC|=

m2+1

(y1+y2)2-4y1y2

=

12(m2+1)

3m2+4

點A到直線BC的距離d=

3

1+m2

S△ABC=

1

2

|BC|d=

18 1+m2

3m2+4

令

1+m2

=t，t≥1，
∴S△ABC=

1

2

|BC|d=

18t

3t2+1

=

18

3t+ 1 t

≤

9

2

故三角形的面積最大值為

9

2

點評：本題主要考查了橢圓的應用，考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．