如圖所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，

M，N分別是AB，PC的中點(diǎn).

（1）求證：MN⊥CD；

（2）若∠PDA=45°.求證：MN⊥平面PCD.

證明略


解析:

 （1）連接AC，AN，BN，

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，

在Rt△PAC中，N為PC中點(diǎn)，

∴AN=PC.

∵PA⊥平面ABCD，

∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A，

∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，

從而在Rt△PBC中，BN為斜邊PC上的中線，

∴BN=PC.

∴AN=BN，

∴△ABN為等腰三角形，

又M為底邊的中點(diǎn)，∴MN⊥AB，

又∵AB∥CD，∴MN⊥CD.

（2）連接PM、CM,∵∠PDA=45°，PA⊥AD，∴AP=AD.

∵四邊形ABCD為矩形.

∴AD=BC，∴PA=BC.

又∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，∴AM=BM.

而∠PAM=∠CBM=90°,∴PM=CM.

又N為PC的中點(diǎn)，∴MN⊥PC.

由（1）知，MN⊥CD，PC∩CD=C,

∴MN⊥平面PCD.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

22、如圖所示，已知PA與⊙O相切，A為切點(diǎn)，PBC為割線，，弦CD∥AP，AD、BC相交于E點(diǎn)，F(xiàn)為CE上一點(diǎn)，且DE2=EF•EC．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

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（2）當(dāng)AB=12，tan∠EAF=
23
時(shí)，求圓O的半徑．

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如圖所示，已知PA與⊙O相切，A為切點(diǎn)，PBC為割線，，弦CD∥AP，AD、BC相交于E點(diǎn)，F(xiàn)為CE上一點(diǎn)，且DE2=EF•EC．
（Ⅰ）求證：∠P=∠EDF；
（Ⅱ）求證：CE•EB=EF•EP．

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2
．
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（2013•甘肅三模）選修4-1：幾何證明選講
如圖所示，已知PA與⊙O相切，A為切點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的割線交圓于B、C兩點(diǎn)，弦CD∥AP，AD、BC相交于點(diǎn)E，F(xiàn)為CE上一點(diǎn)，且DE2=EF•EC．
（1）求證：CE•EB=EF•EP；
（2）若CE：BE=3：2，DE=3，EF=2，求PA的長(zhǎng)．

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