Question

【題目】設 a ∈ N+ ， a ≥ 2 ， 集合.在閉區(qū)間[ 1， a ] 上是否存在 b ， 使 A ∩ B ≠ ? 如果存在， 求出 b 的一切可能值及相應的 A ∩ B；如果不存在， 試說明理由.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

設 b ∈[ 1， a] 使 A ∩ B ≠ ， 即存在 y0 ∈ A 且y0∈ B ， 使 y0 =am（m ∈ N+）且 y0 = （a +1）n + b（n ∈ N+）.則應存在 m 、n ∈ N+， 使 am =（a + 1）n +b（1≤b ≤a），即.

∵

，

∴時，應使能被整除.

（1）當 m 是正偶數時， 有 1 - b 能被 a +1 整除.

由于 a ≥2 ， 1≤b ≤a ， 故僅當 b =1 時滿足要求.

（2）當 m 是正奇數時， 有-1-b 能被a +1 整除.

由于 2 ≤b +1 ≤ a +1 ， 故僅當 b = a 時滿足要求.

綜上， 滿足題意的 b 存在， 其取值為 b =1 或 b = a.

當b =1時，；

當b = a時，.