已知橢圓C1的方程為,雙曲線C2的左、右焦點分別是C1的左、右頂點,而C2的左、右頂點分別是C1的左、右焦點.
(1)求雙曲線C2的方程;
(2)若直線與雙曲線C2恒有兩個不同的交點A和B,且(其中O為原點),求k的范圍.
(3)試根據(jù)軌跡C2和直線l,設計一個與x軸上某點有關(guān)的三角形形狀問題,并予以解答(本題將根據(jù)所設計的問題思維層次評分).
【答案】分析:(1)設雙曲線C2的方程為,則a2=4-1=3,再由a2+b2=c2得b2=1,由此能求出故C2的方程.
(2)將代入.由直線l與雙曲線C2交于不同的兩點得:,由此能求出k的取值范圍.
(3)若x軸上存在點P(m,0),使△APB是以AB為底邊的等腰三角形,求m的取值范圍.
當k=0時,P點坐標為(0,0),即m=0;當k≠0時,設線段AB的中點M(x,y),線段AB的中垂線方程為,令y=0,得,由此能求出m的范圍.
解答:解:(1)設雙曲線C2的方程為
則a2=4-1=3,再由a2+b2=c2得b2=1,故C2的方程為
(2)將代入
由直線l與雙曲線C2交于不同的兩點得:且k2<1…①A(x1,y1),B(x2,y2),則=
又∵,得x1x2+y1y2>2,∴
,解得:②,故k的取值范圍為
(3)若x軸上存在點P(m,0),使△APB是以AB為底邊的等腰三角形,求m的取值范圍.
解:顯然,當k=0時,P點坐標為(0,0),即m=0;
當k≠0時,設線段AB的中點M(x,y),
由(2)知
于是,線段AB的中垂線方程為,令y=0,得,由①知,
,∴m∈R,且m≠0.
綜上所述,m∈R.
點評:本題主要考查雙曲線標準方程,簡單幾何性質(zhì),直線與雙曲線的位置關(guān)系,雙曲線的簡單性質(zhì)等基礎知識.考查運算求解能力,推理論證能力;考查函數(shù)與方程思想,化歸與轉(zhuǎn)化思想.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓C1的方程為
x2
4
+y2=1,雙曲線C2的左、右焦點分別為C1的左、右頂點,而C2的左、右頂點分別是C1的左、右焦點.
(Ⅰ)求雙曲線C2的方程;
(Ⅱ)若直線l:y=kx+
2
與橢圓C1及雙曲線C2都恒有兩個不同的交點,且l與C2的兩個交點A和B滿足
OA
OB
<6(其中O為原點),求k的取值范圍.

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已知橢圓C1的方程為
x2
4
+y2=1,雙曲線C2的左、右焦點分別是C1的左、右頂點,而C2的左、右頂點分別是C1的左、右焦點.
(1)求雙曲線C2的方程;
(2)若直線l:y=kx+
2
與雙曲線C2恒有兩個不同的交點A和B,且
OA
OB
>2(其中O為原點),求k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓C1的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,離心率為
3
2
,兩個焦點分別為F1和F2,橢圓C1上一點到F1和F2的距離之和為12,橢圓C2的方程為
x2
(a-2)2
+
y2
b2-1
=1
,圓C3:x2+y2+2kx-4y-21=0(k∈R)的圓心為點Ak
(I)求橢圓C1的方程;
(II)求△AkF1F2的面積;
(III)若點P為橢圓C2上的動點,點M為過點P且垂直于x軸的直線上的點,
|OP|
|OM|
=e
(e為橢圓C2的離心率),求點M的軌跡.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓C1的方程為
x24
+y2=1
,雙曲線C2的左、右焦點分別為C1的左、右頂點,而C2的左、右頂點分別是C1的左、右焦點.
(1)求雙曲線C2的方程;
(2)設過定點M(0,2)的直線l與橢圓C1交于不同的兩點A、B,且滿足|OA|2+|OB|2>|AB|2,(其中O為原點),求l斜率的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓C1的方程為
x2
4
+y2=1
,雙曲線C2的左、右焦點分別是C1的左、右頂點,而C2的左、右頂點分別是C1的左、右焦點.
(1)求雙曲線C2的方程;
(2)若直線l:y=kx+
2
與雙曲線C2恒有兩個不同的交點A和B,且
OA
OB
>2
(其中O為原點),求k的范圍.
(3)試根據(jù)軌跡C2和直線l,設計一個與x軸上某點有關(guān)的三角形形狀問題,并予以解答(本題將根據(jù)所設計的問題思維層次評分).

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