已知橢圓的右焦點(diǎn)為，短軸的端點(diǎn)分別為,且.
（1）求橢圓的方程；
（2）過點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，弦的垂直平分線與軸相交于點(diǎn).設(shè)弦的中點(diǎn)為，試求的取值范圍．

（1）；（2）

解析試題分析：（1）由橢圓的右焦點(diǎn)，即.又短軸的端點(diǎn)分別為,且，即可求出，的值.從而得到橢圓的方程.
（2）由（1）可得假設(shè)直線AB的方程聯(lián)立橢圓方程消去y即可得到一個(gè)關(guān)于x的二次方程，由韋達(dá)定理得到根與直線斜率k的關(guān)系式.寫出線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)以及線段AB的垂直平分線的方程.即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo).即可求得線段PD的長，根據(jù)弦長公式可得線段MN的長度，再通過最的求法即可得結(jié)論.
試題解析：（1）依題意不妨設(shè)，，則，.
由，得.
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/49/5/6xha31.png" style="vertical-align:middle;" />，
解得.
所以橢圓的方程為.
（2）依題意直線的方程為. 
由得.
設(shè)，，則，.
所以弦的中點(diǎn)為
.
所以

.
直線的方程為，
由，得，則，
所以.
所以.
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/bb/4/bp5nl1.png" style="vertical-align:middle;" />，所以.
所以.
所以的取值范圍是.
考點(diǎn)：1.向量的數(shù)量積.2.橢圓的性質(zhì).3.等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.4.運(yùn)算能力.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，短軸長為2，離心率為.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)A，B是橢圓C上的兩點(diǎn)，△AOB的面積為.若A、B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，E為線段AB的中點(diǎn)，射線OE交橢圓C于點(diǎn)P.如果＝t，求實(shí)數(shù)t的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，短軸的一個(gè)端點(diǎn)到的距離等于焦距.
（1）求橢圓的方程；
（2）過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，是否存在直線，使得△與△的面積比值為？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知頂點(diǎn)為原點(diǎn)的拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合,與在第一和第四象限的交點(diǎn)分別為.
(1)若是邊長為的正三角形，求拋物線的方程；
(2)若，求橢圓的離心率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4．
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在線段的垂直平分線上，且，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本小題滿分15分）
已知橢圓C：＋＝1的離心率為，左焦點(diǎn)為F(－1，0)，
(1) 設(shè)A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F且斜率為k的直線L與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，若，求直線L的方程；
(2)橢圓C上是否存在三點(diǎn)P，E，G，使得S△OPE＝S△OPG＝S△OEG＝？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

我們將不與拋物線對(duì)稱軸平行或重合且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線稱為拋物線的切線，這個(gè)公共點(diǎn)稱為切點(diǎn)．解決下列問題：
已知拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于4，直線與拋物線相交于不同的兩點(diǎn)、，且（為定值）．設(shè)線段的中點(diǎn)為，與直線平行的拋物線的切點(diǎn)為．.

（1）求出拋物線方程，并寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程；
（2）用、表示出點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)，并證明垂直于軸；
（3）求的面積，證明的面積與、無關(guān)，只與有關(guān).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開口向右，過焦點(diǎn)且垂直于拋物線對(duì)稱軸的弦長為2，過C上一點(diǎn)A作兩條互相垂直的直線交拋物線于P,Q兩點(diǎn).

（1）若直線PQ過定點(diǎn)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）對(duì)于第（1）問的點(diǎn)A，三角形APQ能否為等腰直角三角形？若能，試確定三角形APD的個(gè)數(shù)；若不能，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

雙曲線的中心在原點(diǎn)，右焦點(diǎn)為，漸近線方程為 .
（1）求雙曲線的方程；
（2）設(shè)直線：與雙曲線交于、兩點(diǎn)，問：當(dāng)為何值時(shí)，以 為直徑的圓過原點(diǎn)；

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同步練習(xí)冊(cè)答案