已知雙曲線C1的漸近線方程是y=±x,且它的一條準(zhǔn)線與漸近線y=x及x軸圍成的三角形的周長(zhǎng)是.以C1的兩個(gè)頂點(diǎn)為焦點(diǎn),以C1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓記為C2
(1)求C2的方程;
(2)已知斜率為的直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P(m,0)(m>0)并與橢圓C2交于不同的兩點(diǎn)A、B,若對(duì)于橢圓C2上任意一點(diǎn)M,都存在θ∈[0,2π],使得成立.求實(shí)數(shù)m的值.
【答案】分析:(1)由題意知雙曲線C1的焦點(diǎn)在x軸上,先假設(shè)方程,結(jié)合漸近線y=x及x軸圍成的三角形的周長(zhǎng)是,則可求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)聯(lián)立方程組,由于交于不同的兩點(diǎn),所以△>0.
,可得代入橢圓方程,可求實(shí)數(shù)m的值.
解答:解:(1)由題意知雙曲線C1的焦點(diǎn)在x軸上,設(shè)C1的方程為:

解得之:
∴雙曲線的半焦距c=2,橢圓C2方程為:…(4分)
(2)設(shè)點(diǎn)M(x,y)及點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),
直線AB的方程為:x-2y-m=0,
聯(lián)立方程組…(6分)
判斷式△=16m2-32(m2-4)=16(8-m2)>0


=4y1y2+2m(y1+y2)+m2
=…(7分)
,可得…(8分)
代入橢圓方程得4=x2+4y2=(x1cosθ+x2sinθ)2+4(y1cosθ+y2sinθ)2
=(x12+4y12)cos2θ+(x22+4y22)sin2θ+2sinθcosθ(x1x2+4y1y2
=4(cos2θ+sin2θ)+sin2θ•(x1x2+4y1y2
即得:sin2θ•(x1x2+4y1y2)=0…(10分)
又∵θ∈[0,2π]的任意性,知:


∴m=2,即滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)m的值為2   …(12分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,注意設(shè)而不求思想的運(yùn)用.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2009•重慶模擬)已知雙曲線C1的漸近線方程是y=±x,且它的一條準(zhǔn)線與漸近線y=x及x軸圍成的三角形的周長(zhǎng)是
2
+1

(I)求以C1的兩個(gè)頂點(diǎn)為焦點(diǎn),以C1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓C2的方程;
(II)AB是橢圓C2的長(zhǎng)為
2
的動(dòng)弦,O為坐標(biāo)原點(diǎn),求△OAB的面積S的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知雙曲線C1的漸近線方程是y=±
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x,且它的一條準(zhǔn)線與漸近線y=
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3
x及x軸圍成的三角形的周長(zhǎng)是
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2
(1+
3
)
.以C1的兩個(gè)頂點(diǎn)為焦點(diǎn),以C1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓記為C2
(1)求C2的方程;
(2)已知斜率為
1
2
的直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P(m,0)(m>0)并與橢圓C2交于不同的兩點(diǎn)A、B,若對(duì)于橢圓C2上任意一點(diǎn)M,都存在θ∈[0,2π],使得
OM
=cosθ•
OA
+sinθ•
OB
成立.求實(shí)數(shù)m的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:吉安二模 題型:解答題

已知雙曲線C1的漸近線方程是y=±
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x,且它的一條準(zhǔn)線與漸近線y=
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x及x軸圍成的三角形的周長(zhǎng)是
3
2
(1+
3
)
.以C1的兩個(gè)頂點(diǎn)為焦點(diǎn),以C1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓記為C2
(1)求C2的方程;
(2)已知斜率為
1
2
的直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P(m,0)(m>0)并與橢圓C2交于不同的兩點(diǎn)A、B,若對(duì)于橢圓C2上任意一點(diǎn)M,都存在θ∈[0,2π],使得
OM
=cosθ•
OA
+sinθ•
OB
成立.求實(shí)數(shù)m的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知雙曲線C1的漸近線為y=±x且過(guò)點(diǎn)(,),直線l的方程為x-y+3=0,以雙曲線C1的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)作橢圓C2,C2與l有公共點(diǎn),問(wèn)公共點(diǎn)在何處時(shí),C2的短軸長(zhǎng)最短?并求出此時(shí)的橢圓方程.

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