【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求證:當(dāng)時(shí),的圖象位于直線上方;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù),若曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行,且在點(diǎn)處的切線與直線平行(為坐標(biāo)原點(diǎn)),求證:.
【答案】(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ)證明見解析.
【解析】
(Ⅰ)轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí),恒成立,令,求得和,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性,求得,進(jìn)入得到,即可得到結(jié)論.
(Ⅱ)設(shè),由,解得,得到,所以,進(jìn)而得到要證,轉(zhuǎn)化為,構(gòu)造新函數(shù),求得函數(shù)的單調(diào)性與最值,即可求解.
(Ⅰ)由題意,當(dāng)時(shí),的圖象位于直線上方,
即證當(dāng)時(shí),恒成立,
令,可得,則,
所以在上單調(diào)遞增,
所以,所以在上單調(diào)遞增,所以,
所以當(dāng)時(shí),的圖象始終在直線上方.
(Ⅱ)因?yàn)?/span>,則,
設(shè),則,所以,
所以,所以,所以.
要證,
即證,即證,即證,
下面證明.令,∴,
所以當(dāng),,,,
所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,
所以,即,
所以,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】針對某新型病毒,某科研機(jī)構(gòu)已研發(fā)出甲乙兩種疫苗,為比較兩種疫苗的效果,選取100名志愿者,將他們隨機(jī)分成兩組,每組50人.第一組志愿者注射甲種疫苗,第二組志愿者注射乙種疫苗,經(jīng)過一段時(shí)間后,對這100名志愿者進(jìn)行該新型病毒抗體檢測,發(fā)現(xiàn)有的志愿者未產(chǎn)生該新型病毒抗體,在未產(chǎn)生該新型病毒抗體的志愿者中,注射甲種疫苗的志愿者占.
產(chǎn)生抗體 | 未產(chǎn)生抗體 | 合計(jì) | |
甲 | |||
乙 | |||
合計(jì) |
(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù),完成列聯(lián)表;
(2)根據(jù)(1)中的列聯(lián)表,判斷能否有的把握認(rèn)為甲乙兩種疫苗的效果有差異.
參考公式:,其中.
參考數(shù)據(jù):
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某高校在年的自主招生考試成績中隨機(jī)抽取名學(xué)生的筆試成績,按成績共分五組,得到如下的頻率分布表:
組號(hào) | 分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
第一組 | |||
第二組 | |||
第三組 | |||
第四組 | |||
第五組 |
(1)請寫出頻率分布表中、、的值,若同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代替,請估計(jì)全體考生的平均成績;
(2)為了能選出最優(yōu)秀的學(xué)生,高校決定在筆試成績高的第、、組中用分層抽樣的方法抽取名考生進(jìn)入第二輪面試,求第、、組中每組各抽取多少名考生進(jìn)入第二輪的面試;
(3)在(2)的前提下,學(xué)校要求每個(gè)學(xué)生需從、兩個(gè)問題中任選一題作為面試題目,求第三組和第五組中恰好有個(gè)學(xué)生選到問題的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對一個(gè)量用兩種方法分別算一次,由結(jié)果相同而構(gòu)造等式,這種方法稱為“算兩次”的思想方法.利用這種方法,結(jié)合二項(xiàng)式定理,可以得到很多有趣的組合恒等式.
(1)根據(jù)恒等式兩邊的系數(shù)相同直接寫出一個(gè)恒等式,其中;
(2)設(shè),利用上述恒等式證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國的西氣東輸工程把西部的資源優(yōu)勢變?yōu)榻?jīng)濟(jì)優(yōu)勢,實(shí)現(xiàn)了氣能源需求與供給的東西部銜接,工程建設(shè)也加快了西部及沿線地區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展輸氣管道工程建設(shè)中,某段管道鋪設(shè)要經(jīng)過一處峽谷,峽谷內(nèi)恰好有一處直角拐角,水平橫向移動(dòng)輸氣管經(jīng)過此拐角,從寬為米峽谷拐入寬為米的峽谷.如圖所示,位于峽谷懸崖壁上兩點(diǎn)、的連線恰好經(jīng)過拐角內(nèi)側(cè)頂點(diǎn)(點(diǎn)、、在同一水平面內(nèi)),設(shè)與較寬側(cè)峽谷懸崖壁所成角為,則的長為________(用表示)米.要使輸氣管順利通過拐角,其長度不能低于________米.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,數(shù)列是公差為0的等差數(shù)列,且滿足,是和的等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式;
(2)求;
(3)設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式,求;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知F1,F2為橢圓C:的左、右焦點(diǎn),橢圓C過點(diǎn)M,且MF2⊥F1F2.
(1)求橢圓C的方程;
(2)經(jīng)過點(diǎn)P(2,0)的直線交橢圓C于A,B兩點(diǎn),若存在點(diǎn)Q(m,0),使得|QA|=|QB|.
①求實(shí)數(shù)m的取值范圍:
②若線段F1A的垂直平分線過點(diǎn)Q,求實(shí)數(shù)m的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】近年來,我國大力發(fā)展新能源汽車工業(yè),新能源汽車(含電動(dòng)汽車)銷量已躍居全球首位.某電動(dòng)汽車廠新開發(fā)了一款電動(dòng)汽車.并對該電動(dòng)汽車的電池使用情況進(jìn)行了測試,其中剩余電量y與行駛時(shí)問 (單位:小時(shí))的測試數(shù)據(jù)如下表:
(1)根據(jù)電池放電的特點(diǎn),剩余電量y與行駛時(shí)間之間滿足經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式:,通過散點(diǎn)圖可以發(fā)現(xiàn)y與之間具有相關(guān)性.設(shè),利用表格中的前8組數(shù)據(jù)求相關(guān)系數(shù)r,并判斷是否有99%的把握認(rèn)為與之間具有線性相關(guān)關(guān)系;(當(dāng)相關(guān)系數(shù)r滿足時(shí),則認(rèn)為有99%的把握認(rèn)為兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系)
(2)利用與的相關(guān)性及表格中前8組數(shù)據(jù)求出與之間的回歸方程;(結(jié)果保留兩位小數(shù))
(3)如果剩余電量不足0.8,電池就需要充電.從表格中的10組數(shù)據(jù)中隨機(jī)選出8組,設(shè)X表示需要充電的數(shù)據(jù)組數(shù),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
附:相關(guān)數(shù)據(jù):.
表格中前8組數(shù)據(jù)的一些相關(guān)量:,,
相關(guān)公式:對于樣本,其回歸直線的斜率和戧距的最小二乘估計(jì)公式分別為:,
相關(guān)系數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(I)若,求函數(shù)的極值和單調(diào)區(qū)間;
(II)若在區(qū)間上至少存在一點(diǎn),使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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