Question

已知拋物線的方程為y²=4x，直線l過(guò)定點(diǎn)P（-2，0），斜率為k，當(dāng)k為何值時(shí)，直線與拋物線：
（1）只有一個(gè)公共點(diǎn)；
（2）有兩個(gè)公共點(diǎn)；
（3）沒(méi)有公共點(diǎn)．

Answer 1

分析：由題意可設(shè)直線方程為：y=k（x+2），聯(lián)立方程可得，

y=k(x+2) y2=4x

整理可得k²x²+4（k²-1）x+4k²=0（*）
（1）直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)?（*）只有一個(gè)根
（2）直線與拋物線有2個(gè)公共點(diǎn)?（*）有兩個(gè)根
（3）直線與拋物線沒(méi)有一個(gè)公共點(diǎn)?（*）沒(méi)有根

解答：解：由題意可設(shè)直線方程為：y=k（x+2）
聯(lián)立方程可得，

y=k(x+2) y2=4x

整理可得k²x²+4（k²-1）x+4k²=0（*）
（1）直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)?（*）沒(méi)有根
①k=0時(shí)，x=0符合題意
②k≠0時(shí)，△=16（k²-1）²-16k⁴=0
∴k=±

2

2

綜上可得，k=

2

2

，-

2

2

，或0，
（2）直線與拋物線有2個(gè)公共點(diǎn)?（*）有兩個(gè)根
∴

16(k2-1)2-16k4＞0 k≠0

∴-

2

2

＜k＜

2

2

且k≠0
即(-

2

2

，0)∪(0，

2

2

)
（3）直線與拋物線沒(méi)有一個(gè)公共點(diǎn)?（*）沒(méi)有根

k≠0 16(k2-1)2-16k4＜0

解不等式可得，k＜-

2

2

或k＞

2

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了由直線與拋物線的位置關(guān)系的求解參數(shù)的取值范圍，一般的思路是把位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程解的問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．解題中容易漏洞對(duì)二次項(xiàng)是否為0的討論