中心在坐標(biāo)原點，焦點在軸上的橢圓的離心率為，且經(jīng)過點。若分別過橢圓的左右焦點、的動直線、相交于P點，與橢圓分別交于A、B與C、D不同四點，直線OA、OB、OC、OD的斜率、、、滿足．

（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在定點M、N，使得為定值．若存在，求出M、N點坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
（1）；
（2）存在點M、N其坐標(biāo)分別為(0 , -1)、(0, 1)，使得為定值．

試題分析：（1）設(shè)橢圓方程為，則由題意知，則
，則橢圓方程為，代入點的坐標(biāo)可得
，所求橢圓方程為
（2）當(dāng)直線或斜率不存在時，P點坐標(biāo)為(-1, 0)或(1, 0)．
當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)斜率分別為，，設(shè)，，
由得　，∴ ，．
，同理．∵， ∴，即．又，　∴．
設(shè)，則，即，
由當(dāng)直線或斜率不存在時，P點坐標(biāo)為(-1, 0)或(1, 0)也滿足，∴點橢圓上，則存在點M、N其坐標(biāo)分別為(0 , -1)、(0, 1)，使得為定值．
點評：中檔題，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)，應(yīng)用“待定系數(shù)法”求得了橢圓方程。研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，往往應(yīng)用韋達定理，通過“整體代換”，簡化解題過程，實現(xiàn)解題目的。（II）中對兩直線斜率存在情況進行討論，易于忽視。
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的四個頂點恰好是一邊長為2，一內(nèi)角為的菱形的四個頂點.
（I）求橢圓的方程；
（II）直線與橢圓交于，兩點，且線段的垂直平分線經(jīng)過點，求（為原點）面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知兩點F1(-1,0)及F2(1,0),點P在以F1、F2為焦點的橢圓C上,且|PF1|、|F1F2|、|PF2|構(gòu)成等差數(shù)列.

（1）求橢圓C的方程;
（2）如圖,動直線l:y=kx+m與橢圓C有且僅有一個公共點,點M,N是直線l上的兩點,且F1M⊥l, F2N⊥l.求四邊形F1MNF2面積S的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知橢圓的中心在原點，離心率，且它的一個焦點與拋物線的焦點重合， 則此橢圓方程為
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)是橢圓的左焦點，直線方程為，直線與軸交于點，、分別為橢圓的左右頂點，已知，且．
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(Ⅱ)過點且斜率為的直線交橢圓于、兩點，求三角形面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知直線l：y＝kx＋2(k為常數(shù))過橢圓＋＝1(a＞b＞0)的上頂點B和左焦點F，直線l被圓x2＋y2＝4截得的弦長為d.
(1)若d＝2，求k的值；
(2)若d≥，求橢圓離心率e的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

求滿足下列條件的橢圓方程長軸在軸上，長軸長等于12，離心率等于；橢圓經(jīng)過點；橢圓的一個焦點到長軸兩端點的距離分別為10和4.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，且過點（），
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線與橢圓交于P，Q兩點，且以PQ為對角線的菱形的一頂點為（-1，0），求：△OPQ面積的最大值及此時直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓，左右焦點分別為，
（1）若上一點滿足，求的面積；
（2）直線交于點，線段的中點為，求直線的方程。

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