Question

已知橢圓C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為

1

2

，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為其左右焦點(diǎn)．一動(dòng)圓過點(diǎn)F₂，且與直線x=-1相切．
（Ⅰ） （ⅰ）求橢圓C₁的方程；
（ⅱ）求動(dòng)圓圓心軌跡C的方程；
（Ⅱ）在曲線C上有四個(gè)不同的點(diǎn)M，N，P，Q，滿足

MF2

與

NF2

共線，

PF2

與

QF2

共線，且

PF2

•

MF2

=0，求四邊形PMQN面積的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用待定系數(shù)法求出橢圓C₁的a，b，c即可；因一動(dòng)圓過點(diǎn)F₂，且與直線x=-1相切可得此圓心到定點(diǎn)和到定直線的距離相等，它是拋物線，從而解決；
（Ⅱ）欲求四邊形PMQN面積的最小值，先建立面積關(guān)于某一個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系式，設(shè)直線MN的方程為：y=k（x-1），利用拋物線定義求出|MN|，再結(jié)合向量垂直關(guān)系求得|PQ|，最后利用基本不等式求出所列函數(shù)的最小值即可．

解答：解：（Ⅰ）（ⅰ）由已知可得

2a=4 e= c a = 1 2

?

a=2 c=1

?b2=a2-c2=3，
則所求橢圓方程C1：

x2

4

+

y2

3

=1．
（ⅱ）由已知可得動(dòng)圓圓心軌跡為拋物線，且拋物線C的焦點(diǎn)為（1，0），準(zhǔn)線方程為x=-1，則動(dòng)圓圓心軌跡方程為C：y²=4x．
（Ⅱ）由題設(shè)知直線MN，PQ的斜率均存在且不為零，
設(shè)直線MN的斜率為k（k≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則直線MN的方程為：y=k（x-1）
聯(lián)立C：y²=4x消去y可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0
由拋物線定義可知：|MN|=|MF2|+|NF2|=x1+1+x2+1=

2k2+4

k2

+2=4+

4

k2

設(shè)直線PQ的方程為y=-

1

k

(x-1)，與橢圓的方程聯(lián)立得

y=- 1 k (x-1) x2 4 + y2 3 =1

化簡(jiǎn)后，利用弦長(zhǎng)公式可得|PQ|=

24(1+k2)2

3k2+4

又SPMQN=

1

2

|MN|•|PQ|=

1

2

(4+

4

k2

)×

12(1+k2)2

3k2+4

=

24(1+k2)2

3k4+4k2

令1+k²=t＞1，
故有SPMQN=

1

2

|MN|•|PQ|=

24t2

3(t-1)2+4(t-1)

=

24t2

3t2-2t-1

=

24

3- 2 t - 1 t2

又3-

2

t

-

1

t2

=4-(1+

1

t

)2∈（0，3），
可得SPMQN=

24

3- 2 t - 1 t2

＞8，
所以四邊形PMQN面積的最小值為8．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查曲線與方程，直線和圓錐曲線等基礎(chǔ)知識(shí)，以及求平面圖形面積最小值的基本技能和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力．