【題目】已知函數(shù),其中為常數(shù).

1)討論函數(shù)的單調(diào)性;

2)當(dāng)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),時(shí),若方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】1)當(dāng)時(shí),上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;(2

【解析】

1)分別在兩種情況下,根據(jù)的正負(fù)確定的單調(diào)性;

2)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí),有兩個(gè)不同交點(diǎn)的問(wèn)題,通過(guò)導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性和最值,進(jìn)而得到函數(shù)圖象,通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式可確定的范圍.

1)由題意得:定義域?yàn)?/span>,,

當(dāng)時(shí),,則上單調(diào)遞減;

當(dāng)時(shí),令,解得:,

當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,

上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.

綜上所述:當(dāng)時(shí),上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.

2)當(dāng)時(shí),有兩個(gè)不等實(shí)根,方程可化為,

,則

,則

當(dāng)時(shí),,即<0上單調(diào)遞減,

,且

上有且僅有一個(gè)零點(diǎn),

當(dāng)時(shí),,即;當(dāng)時(shí),,即

上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,

,,

由此可得圖象如下圖所示:

則當(dāng)時(shí),方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根等價(jià)于當(dāng)時(shí),有兩個(gè)不同交點(diǎn),

由圖象可知:.

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