Question

【題目】已知函數(shù)．

(I)當(dāng)時(shí)，求過(guò)點(diǎn)(0，1)且和曲線相切的直線方程；

(2)若函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)致的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）或（2）

【解析】

（1）討論點(diǎn)是否是切點(diǎn)，是切點(diǎn)時(shí)，求出在該點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)就是切線的斜率，再運(yùn)用直線的點(diǎn)斜式得切線方程；

不是切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，建立方程求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再求出切線方程；

（2）方法一：將整理成令，對(duì)求導(dǎo)，討論其零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，就是函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，注意當(dāng)最小值小于零時(shí)，需對(duì)取得最小值的點(diǎn)的左右兩側(cè)的函數(shù)判斷是否有零點(diǎn)的存在，可求出特殊點(diǎn)的函數(shù)值判斷其正負(fù)，根據(jù)零點(diǎn)存在定理判斷零點(diǎn)的存在；

方法二：由可得對(duì)a實(shí)行參變分離方法，構(gòu)造新函數(shù)，對(duì)其求導(dǎo)研究此函數(shù)的單調(diào)性和最值，要使函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即直線與函數(shù)的圖象在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，可得解.

（1）當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)點(diǎn)為切點(diǎn)時(shí)，所求直線的斜率為，則過(guò)點(diǎn)且和曲線相切的直線方程為

當(dāng)點(diǎn)不是切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，

則所求直線的斜率為，所以，①易知②

由①②可得

即

設(shè)則

所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，,

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

又

所以有唯一的零點(diǎn)，

因?yàn)?/span>，所以方程的根為，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，

故所求切線的斜率為，則過(guò)點(diǎn)且和曲線相切的直線方程為.

綜上，所求直線的方程為或.

（2）解法一:令，

因?yàn)?/span>，所以函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn)，所以沒(méi)有零點(diǎn).

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

故是函數(shù)在上的最小值.

當(dāng)即在上沒(méi)有零點(diǎn)，即在上沒(méi)有零點(diǎn)；

當(dāng)即在上只有一個(gè)零點(diǎn)，即即在上只有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)即，即在上有一個(gè)零點(diǎn)，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)；

對(duì)任意的，都有，即，所以，即，令，則，所以

故在上有一個(gè)零點(diǎn)，

因此在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn).

綜上，若函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.

解法二：由可得

令，

則函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即直線與函數(shù)的圖象在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，令得

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以在上的最大值為

因?yàn)?/span>，并且當(dāng)時(shí)，

所以當(dāng)時(shí)，在上的圖象與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn).

所以，若函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.