Question

設(shè)滿足以下兩個(gè)條件的有窮數(shù)列為階“期待數(shù)列”：

①；②．

（1）若等比數(shù)列為 ()階“期待數(shù)列”，求公比；

（2）若一個(gè)等差數(shù)列既是 ()階“期待數(shù)列”又是遞增數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）記階“期待數(shù)列”的前項(xiàng)和為：

（�。┣笞C：；

（ⅱ）若存在使，試問數(shù)列能否為階“期待數(shù)列”？若能，求出所有這樣的數(shù)列；若不能，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）．（2）．（3）（�。├�用前n項(xiàng)和進(jìn)行放縮證明．（ⅱ）數(shù)列和數(shù)列不能為階“期待數(shù)列”．

【解析】

試題分析：（1）若，則由①=0，得，

由②得或．

若，由①得，，得，不可能．

綜上所述，．

（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為，>0．

∵，∴，

∴，

∵>0，由得，，

由題中的①、②得，

，

兩式相減得，， ∴，

又，得，

∴．

（3）記，，…，中非負(fù)項(xiàng)和為，負(fù)項(xiàng)和為，

則，，得，，

（�。�，即．

（ⅱ）若存在使，由前面的證明過程知：

，，…，，，，…，，

且…．

記數(shù)列的前項(xiàng)和為，

則由（�。┲�，，

∴=，而，

∴，從而，，

又…，

則，

∴，

與不能同時(shí)成立，

所以，對(duì)于有窮數(shù)列，若存在使，則數(shù)列和數(shù)列不能為階“期待數(shù)列”．

考點(diǎn)：本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和

點(diǎn)評(píng)：數(shù)列的通項(xiàng)公式及應(yīng)用是數(shù)列的重點(diǎn)內(nèi)容，數(shù)列的大題對(duì)邏輯推理能力有較高的要求，在數(shù)列中突出考查學(xué)生的理性思維，這是近幾年新課標(biāo)高考對(duì)數(shù)列考查的一個(gè)亮點(diǎn)，也是一種趨勢(shì)