(本小題滿分13分)

平地上有一條水渠,其橫斷面是一段拋物線弧,如圖,已知渠寬為,渠深為6。

(1)若渠中水深為4,求水面的寬,并計算水渠橫斷面上的過水面積;

(2)為了增大水渠的過水量,現(xiàn)要把這條水渠改挖(不能填土)成橫斷面為等腰梯形的水渠,使水渠的底面與地面平行(不改變渠深),要使所挖土的土方量最少,請你設(shè)計水渠改挖后的底寬,并求出這個底寬。

 

【答案】

 

解:(1)水渠橫斷面過水面積為;

(2)設(shè)計改挖后的水渠的底寬為時,可使所挖土的土方量最少。

 

【解析】本試題以圓錐曲線為背景,結(jié)合了定積分的幾何意義,表示曲邊梯形的面積的,以及直線與拋物線相切的相關(guān)知識的綜合愚弄。

(1)利用建立直角坐標(biāo)系,然后設(shè)出方程和點的坐標(biāo),結(jié)合定積分的幾何意義表示出面積。

(2)分析為了使挖掉的土最少,等腰梯形的兩腰必須與拋物線相切,則需要結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義來表示得到切線方程,從而表示梯形面積,求解得到最值。

解:(1)建立如圖的坐標(biāo)系,設(shè)拋物線的方程為,由已知在拋物線上,得,∴拋物線的方程為,令,得,即水面寬為8()。

∴水渠橫斷面過水面積為

(2)為了使挖掉的土最少,等腰梯形的兩腰必須與拋物線相切,如圖,

設(shè)切點,則函數(shù)在點的切線方程為

,得;

∴此時梯形OABC的面積為

,

當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,此時

∴設(shè)計改挖后的水渠的底寬為時,可使所挖土的土方量最少。

 

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(Ⅰ)求證:∥平面;

(Ⅱ)求異面直線所成的角。www.7caiedu.cn           

 

 

 

 

 

 


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已知為銳角,且,函數(shù),數(shù)列{}的首項.

(1) 求函數(shù)的表達式;

(2)在中,若A=2,,BC=2,求的面積

(3) 求數(shù)列的前項和

 

 

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