Question

在△ABC中，A、B為定點(diǎn)，C為動(dòng)點(diǎn)，記∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知c=2，且存在常數(shù)λ
（λ＞0），使得．
（1）求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡，并求其標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作直線l與（1）中的曲線交于M，N兩點(diǎn)，若OM⊥ON，試確定λ的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）在△PAB中，由余弦定理，有2²=a²+b²-2abcosC，，故點(diǎn)P的軌跡C是以A，B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），當(dāng)MN垂直于x軸時(shí)，MN的方程為x=1，由題意，，由λ＞0，得．當(dāng)MN不垂直于x軸時(shí)，設(shè)MN的方程為y=k（x-1）．由得：[λ+（1+λ）k²]x²-2（1+λ）k²x+（1+λ）（k²-λ）=0，由題意知：λ+（1+λ）k²＞0，再由韋達(dá)定理能導(dǎo)出．由此可知．
解答：解：（1）在△PAB中，由余弦定理，有2²=a²+b²-2abcosC，，
所以，點(diǎn)P的軌跡C是以A，B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓．（除去長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)）
如圖，以A、B所在的直線為x軸，以A、B的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系．
則，A（-1，0）和B（1，0）．
橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（y≠0）．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
①當(dāng)MN垂直于x軸時(shí)，MN的方程為x=1，由題意，有M（1，1），N（1，-1）在橢圓上．
即，由λ＞0，得．
②當(dāng)MN不垂直于x軸時(shí)，設(shè)MN的方程為y=k（x-1）．
由得：[λ+（1+λ）k²]x²-2（1+λ）k²x+（1+λ）（k²-λ）=0，
由題意知：λ+（1+λ）k²＞0，
所以，．
于是：．
因?yàn)镺M⊥ON，所以，
所以，
所以，，
由λ＞0得1+λ-λ²＞0，解得．
綜合①②得：．
點(diǎn)評(píng)：本題考動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程和確定λ的范圍．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意韋達(dá)定理和橢圓性質(zhì)的應(yīng)用．