Question

已知等差數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和為Sn，公差d≠0，且S₃=9，a₁，a₃，a₇成等比數(shù)列．
（1)求數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式；
（2)設(shè)＝，求數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和.

Answer 1

（1）a_n＝n＋1；（2）.

試題分析：本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、等比中項(xiàng)等數(shù)學(xué)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題的能力和計(jì)算能力.第一問(wèn)，先利用等比中項(xiàng)寫出，再用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式將和展開(kāi)，用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和將展開(kāi)，兩式聯(lián)立，求出和，再寫出通項(xiàng)公式即可；第二問(wèn)，將第一問(wèn)的結(jié)果代入，化簡(jiǎn)表達(dá)式，利用等比數(shù)列的定義證明為等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式計(jì)算.
試題解析：(1)，即(a₁＋2d)²＝a₁(a₁＋6d)，化簡(jiǎn)得，d＝0(舍去)．
∴，得a₁＝2，d＝1.
∴a_n＝a₁＋(n－1)d＝2＋(n－1)＝n＋1，即a_n＝n＋1.（6分）
(2)∵b_n＝2a_n＝2^n＋1，∴b₁＝4，.
∴{b_n}是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
∴.（12分）