(廣東卷理18文20)設(shè),橢圓方程為,拋物線方程為.如圖4所示,過(guò)點(diǎn)軸的平行線,與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為,已知拋物線在點(diǎn)的切線經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)

(1)求滿(mǎn)足條件的橢圓方程和拋物線方程;

(2)設(shè)分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn),試探究在拋物線上是否存在點(diǎn),使得為直角三角形?若存在,請(qǐng)指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)?并說(shuō)明理由(不必具體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)).

【解析】(1)由,

當(dāng)

G點(diǎn)的坐標(biāo)為,,,

過(guò)點(diǎn)G的切線方程為

,點(diǎn)的坐標(biāo)為,由橢圓方程得點(diǎn)的坐標(biāo)為,

,即橢圓和拋物線的方程分別為;

(2)過(guò)軸的垂線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn),為直角的只有一個(gè),

同理為直角的只有一個(gè)。

若以為直角,設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,

。

關(guān)于的二次方程有一大于零的解,有兩解,即以為直角的有兩個(gè),

因此拋物線上存在四個(gè)點(diǎn)使得為直角三角形。

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(廣東卷理18文20)設(shè),橢圓方程為,拋物線方程為.如圖4所示,過(guò)點(diǎn)軸的平行線,與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為,已知拋物線在點(diǎn)的切線經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)

(1)求滿(mǎn)足條件的橢圓方程和拋物線方程;

(2)設(shè)分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn),試探究在拋物線上是否存在點(diǎn),使得為直角三角形?若存在,請(qǐng)指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)?并說(shuō)明理由(不必具體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)).

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