【答案】
分析:(1)方法1:設(shè)雙曲線的方程為
,其漸近線的方程為
.因?yàn)橐粭l漸近線的方程是
,所以
,由此能求出雙曲線的方程.
方法2:雙曲線的一條漸近線是3x-2y=0,設(shè)雙曲線的方程為
.由焦點(diǎn)是(-4,0),得4λ+9λ=16,由此能求出雙曲線的方程.
(2)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A、F
2的圓C與準(zhǔn)線相切于點(diǎn)M,交EF
2于點(diǎn)N.由∠AMF
2=∠ANF
2≥∠AEF
2,知∠AMF
2=θ.由A(a,0),F(xiàn)
2(c,0),知
,由此能求出sinθ(用e表示).
(3)方法1:當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y=mx+n,代入
中得(b
2-a
2m
2)x
2-2a
2mnx-a
2(n
2+b
2)=0.設(shè)P(x
1,y
1),Q(x
2,y
2),線段PQ的中點(diǎn)為G(α,β),則
.由此能證明
.
方法2:當(dāng)直線l的斜率不存在或?yàn)榱銜r(shí),即直線l垂直于x軸或垂直于y軸時(shí),由對(duì)稱性可知線段PQ與線段P'Q'有共同的中點(diǎn),所以|PP'|=|QQ'|.設(shè)l:y=kx+m(k≠0).設(shè)PQ的中點(diǎn)為G(x
,y
),P'Q'的中點(diǎn)為G'(x'
,y'
),則由點(diǎn)差法可得
,且
,由此能夠證明
.
解答:解:(1)方法1
雙曲線的左焦點(diǎn)為F
1(-4,0),
設(shè)雙曲線的方程為
,
則其漸近線的方程為
,即
.
又∵一條漸近線的方程是
,
∴
,得
,
.
故雙曲線的方程為
.
方法2
∵雙曲線的一條漸近線是3x-2y=0,即
,
∴可設(shè)雙曲線的方程為
.
∵焦點(diǎn)是(-4,0),
∴由
得4λ+9λ=16,
∴
,
∴雙曲線的方程為
.
(2)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A、F
2的圓C與準(zhǔn)線相切于點(diǎn)M,交EF
2于點(diǎn)N.
∵∠AMF
2=∠ANF
2≥∠AEF
2(當(dāng)E與M重合時(shí)取“=”),
∴∠AMF
2=θ.
∵A(a,0),F(xiàn)
2(c,0),
∴
,
又∵
,
∴圓C的半徑
.
由正弦定理得
,
∴
.
(3)證明:方法1
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y=mx+n,
代入
中得(b
2-a
2m
2)x
2-2a
2mnx-a
2(n
2+b
2)=0.
設(shè)P(x
1,y
1),Q(x
2,y
2),線段PQ的中點(diǎn)為G(α,β),
則
.
同理,將y=mx+n代入漸近線方程
中,
得(b
2-a
2m
2)x
2-2a
2mnx-a
2n
2=0.
設(shè)P'(x'
1,y'
1),Q'(x'
2,y'
2),
線段P'Q'的中點(diǎn)為G'(α',β'),
則
=
,
∴α=α',即線段PQ與線段P'Q'有共同的中點(diǎn).
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),即直線l垂直于x軸時(shí),
由對(duì)稱性可知線段PQ與線段P'Q'有共同的中點(diǎn)
.∴
,即
.
方法2
當(dāng)直線l的斜率不存在或?yàn)榱銜r(shí),
即直線l垂直于x軸或垂直于y軸時(shí),
由對(duì)稱性可知線段PQ與線段P'Q'有共同的中點(diǎn),
∴|PP'|=|QQ'|.
當(dāng)直線l的斜率存在且不為零時(shí),可設(shè)l:y=kx+m(k≠0).
設(shè)PQ的中點(diǎn)為G(x
,y
),P'Q'的中點(diǎn)為G'(x'
,y'
),
則由點(diǎn)差法可得
,
且
,
∴點(diǎn)G、G'在直線l':
,
即
上.
又∵點(diǎn)G、G'在直線l:y=kx+m上,
∴點(diǎn)G、G'同為直線l與l'的交點(diǎn).
故點(diǎn)G、G'重合,
∴
,
即
.
點(diǎn)評(píng):通過幾何量的轉(zhuǎn)化考查用待定系數(shù)法求曲線方程的能力,通過直線與圓錐曲線的位置關(guān)系處理,考查學(xué)生的運(yùn)算能力.通過向量與幾何問題的綜合,考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問題的能力,探究研究問題的能力,并體現(xiàn)了合理消元,設(shè)而不解的代數(shù)變形的思想.對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高,有一定的探索性.綜合性強(qiáng),難度大,易出錯(cuò).