設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)f(x)構(gòu)成的集合:“①方程f(x)-x=0有實(shí)數(shù)根; ②函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)滿足0<f'(x)<1.”
(I)判斷函數(shù)f(x)=
x
2
+
sinx
4
是否是集合M中的元素,并說明理由;
(II)集合M中的元素f(x)具有下面的性質(zhì):若f(x)的定義域?yàn)镈,則對(duì)于任意[m,n]⊆D,都存在x0∈[m,n],使得等式f(n)-f(m)=(n-m)f'(x0)成立”,試用這一性質(zhì)證明:方程f(x)-x=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.
分析:(I)判定函數(shù) f(x)=
x
2
+
sinx
4
是否滿足:“①方程f(x)-x=0有實(shí)數(shù)根;②函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)滿足0<f′(x)<1.”
(II)證明只有一個(gè)的問題,可利用反正法進(jìn)行證明,假設(shè)方程f(x)-x=0存在兩個(gè)實(shí)數(shù)根α,β(α≠β),然后尋找矛盾,從而肯定結(jié)論.
解答:解:(I)因?yàn)?span id="kugg802" class="MathJye">f′(x)=
1
2
+
1
4
cosx,
所以f′(x)∈[
1
4
,
3
4
]
滿足條件0<f'(x)<1,
又因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí),f(0)=0,所以方程f(x)-x=0有實(shí)數(shù)根0.
所以函數(shù)f(x)=
x
2
+
sinx
4
是集合M中的元素.
(II)證明:假設(shè)方程f(x)-x=0存在兩個(gè)實(shí)數(shù)根α,β(α≠β),
則f(α)-α=0,f(β)-β=0
不妨設(shè)α<β,根據(jù)題意存在數(shù)c∈(α,β),
使得等式f(β)-f(α)=(β-α)f'(c)成立
因?yàn)閒(α)=α,f(β)=β,且α≠β,所以f'(c)=1
與已知0<f'(x)<1矛盾,所以方程f(x)-x=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.
點(diǎn)評(píng):本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,方程的解、三角函數(shù)性質(zhì),等知識(shí),考查反證法、以及閱讀能力,是一道函數(shù)綜合問題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)f(x)構(gòu)成的集合:“①方程f(x)-x=0有實(shí)數(shù)根;②函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)滿足0<f′(x)<1”.
(Ⅰ)判斷函數(shù)f(x)=
x
2
+
sinx
4
是否是集合M中的元素,并說明理由;
(Ⅱ)集合M中的元素f(x)具有下面的性質(zhì):若f(x)的定義域?yàn)镈,則對(duì)于任意[m,n]⊆D,都存在x0∈[m,n],使得等式f(n)-f(m)=(n-m)f'(x0)成立”,試用這一性質(zhì)證明:方程f(x)-x=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根;
(Ⅲ)設(shè)x1是方程f(x)-x=0的實(shí)數(shù)根,求證:對(duì)于f(x)定義域中任意的x2、x3,當(dāng)|x2-x1|<1,且|x3-x1|<1時(shí),|f(x3)-f(x2)|<2.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)f(x)構(gòu)成的集合:“①方程f(x)-x=0有實(shí)數(shù)根;②函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)滿足
0<f(x)<1”
(I)證明:函數(shù)f(x)=
3x
4
+
x3
3
(0≤x<
1
2
)是集合M中的元素;
(II)證明:函數(shù)f(x)=
3x
4
+
x3
3
(0≤x
1
2
)具有下面的性質(zhì):對(duì)于任意[m,n]⊆[0,
1
2
),都存在xo∈(m,n),使得等式f(n)-f(m)=(n-m)f(xo)成立.
(III)若集合M中的元素f(x)具有下面的性質(zhì):若f(x)的定義域?yàn)镈,則對(duì)于任意[m,n]⊆D,都存在xo∈(m,n),使得等式f(n)-f(m)=(n-m)f(xo)成立.試用這一性質(zhì)證明:對(duì)集合M中的任一元素f(x),方程f(x)-x=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)f(x)構(gòu)成的集合:“①方程f(x)-x=0有實(shí)數(shù)根;②函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)滿足0<f′(x)<1.”
(Ⅰ)判斷函數(shù)f(x)=
x
2
+
sinx
4
是否是集合M中的元素,并說明理由;
(Ⅱ)令g(x)=f(x)-x,判斷g(x)的單調(diào)性(f(x)∈M);
(Ⅲ)設(shè)x1<x2,證明:0<f(x2)-f(x1)<x2-x1

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設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)f(x)構(gòu)成的集合:(1)方程f(x)-x=0有實(shí)數(shù)解;(2)函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)滿足0<f′(x)<1.給出如下函數(shù):
f(x)=
x
2
+
sinx
4
;
②f(x)=x+tanx,x∈(-
π
2
π
2
)
;
③f(x)=log3x+1,x∈[1,+∞).
其中是集合M中的元素的有
①③
①③
.(只需填寫函數(shù)的序號(hào))

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•江西模擬)設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)f(x)構(gòu)成的集合:①方程f(x)-x=0有實(shí)根;②函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)滿足0<f′(x)<1.
(1)若函數(shù)f(x)為集合M中的任意一個(gè)元素,證明:方程f(x)-x=0只有一個(gè)實(shí)根;
(2)判斷函數(shù)g(x)=
x
2
-
lnx
2
+3(x>1)
是否是集合M中的元素,并說明理由;
(3)設(shè)函數(shù)f(x)為集合M中的任意一個(gè)元素,對(duì)于定義域中任意α,β,證明|f(α)-f(β)|≤|α-β|

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