Question

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點O，焦點在x軸上，短軸長為2，且兩個焦點和短軸的兩個端點恰為一個正方形的頂點．過右焦點F與x軸不垂直的直線l交橢圓于P，Q兩點．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）在線段OF上是否存在點M（m，0），使得以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）橢圓方程可設(shè)為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，利用兩個焦點和短軸的兩個端點恰為正方形的頂點，且短軸長為2，即可求得橢圓方程；
（Ⅱ）假設(shè)在線段OF上存在點M（m，0）（0＜m＜1），使得以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形．因為直線與x軸不垂直，所以設(shè)直線l的方程為y=k（x-1）（k≠0），與橢圓方程聯(lián)立，再利用韋達(dá)定理．根據(jù)以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形等價于(

MP

+

MQ

)⊥

PQ

，即(

MP

+

MQ

)•

PQ

=0，由此可確定m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由已知，橢圓方程可設(shè)為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
∵兩個焦點和短軸的兩個端點恰為正方形的頂點，且短軸長為2，
∴b=c=1 ， a=

2

．    
∴所求橢圓方程為

x2

2

+y2=1．    （4分）
（Ⅱ）假設(shè)在線段OF上存在點M（m，0）（0＜m＜1），使得以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形．
因為直線與x軸不垂直，所以設(shè)直線l的方程為y=k（x-1）（k≠0）．
由 

x2+2y2=2 y=k(x-1)

可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則
∴x1+x2=

4k2

1+2k2

，x1x2=

2k2-2

1+2k2

．

MP

=(x1-m， y1)，

MQ

=(x2-m， y2)，

PQ

=(x2-x1， y2-y1)．其中x₂-x₁≠0
以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形等價于(

MP

+

MQ

)⊥

PQ

，即(

MP

+

MQ

)•

PQ

=0
∴（x₁+x₂-2m，y₁+y₂）•（x₂-x₁，y₂-y₁）=0
∴（x₁+x₂-2m）（x₂-x₁）+（y₁+y₂）（y₂-y₁）=0
∴（x₁+x₂-2m）+k（y₁+y₂）=0
∴(

4k2

1+2k2

-2m)+k2(

4k2

1+2k2

-2)=0
∴2k²-（2+4k²）m=0
∴m=

k2

1+2k2

(k≠0)．
∴m=

1

1 k2 +2

∵

1

k2

+ 2＞2
∴0＜m＜

1

2

．  （12分）．

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，正確構(gòu)建函數(shù)是關(guān)鍵．