已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+1和函數(shù)g(x)=
bx-1a2x+2b

(1)若f(x)為偶函數(shù),試判斷g(x)的奇偶性;
(2)若方程g(x)=x有兩個不等的實根x1,x2(x1<x2),則
①試判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)上是否具有單調(diào)性,并說明理由;
②若方程f(x)=0的兩實根為x3,x4(x3<x4),求使x3<x1<x2<x4成立的a的取值范圍.
分析:(1)f(x)為偶函數(shù),又為二次函數(shù)故b=0,a≠0,故可得出g(x)=
-1
a2x
用定義可判斷出其為奇函數(shù);
(2)①由g(x)=
bx-1
a2x+2b
=x
得有不等實根,整理后得一二次方程,故可得△>0,其為一關(guān)于a,b的關(guān)系式,從中整理 得出對稱軸的范圍,知其不在區(qū)間(-1,1)上,故可證得函數(shù)在區(qū)間(-1,1)上具有單調(diào)性.
②方程f(x)=0為一二次函數(shù)其兩實根為x3,x4(x3<x4),若x3<x1<x2<x4成立,即x1,x2在兩根之間,可由根的分布的相關(guān)知識將這一關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式,解出a的范圍.
解答:解:(1)∵f(x)為偶函數(shù),∴f(-x)=f(x),∴bx=0,∴b=0
g(x)=-
1
a2x
,∴函數(shù)g(x)為奇函數(shù);(4分)
(2)①由g(x)=
bx-1
a2x+2b
=x
得方程a2x2+bx+1=0(*)有不等實根
∴△=b2-4a2>0及a≠0得|
b
2a
|>1
-
b
2a
<-1或-
b
2a
>1
(7分)
又f(x)的對稱軸x=-
b
2a
∉(-1,1)

故f(x)在(-1,1)上是單調(diào)函數(shù)(10分)
②x1,x2是方程(*)的根,∴a2x12+bx1+1=0
∴bx1=-a2x12-1,同理bx2=-a2x22-1
∴f(x1)=ax12+bx1+1=ax12-a2x12=(a-a2)x12
同理f(x2)=(a-a2)x22
要使x3<x1<x2<x4,只需
a>0
f(x1)<0
f(x2)<0
a>0
a-a2<0
,∴a>1
a<0
f(x1)>0
f(x2)>0
a<0
a-a2>0
,解集為φ
故a的取值范圍a>1(16分)
點評:本題考查二次函數(shù)的性質(zhì),對其奇偶性懷單調(diào)性,圖象的特征都有涉及,是一道關(guān)于二次函數(shù)的綜合性很強(qiáng)的題目.
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已知二次函數(shù)f(x)=x2+2(m-2)x+m-m2
(I)若函數(shù)的圖象經(jīng)過原點,且滿足f(2)=0,求實數(shù)m的值.
(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間[2,+∞)上為增函數(shù),求m的取值范圍.

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已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖象過點(0,1),且與x軸有唯一的交點(-1,0).
(Ⅰ)求f(x)的表達(dá)式;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)-kx,x∈[-2,2],記此函數(shù)的最小值為g(k),求g(k)的解析式.

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已知二次函數(shù)f(x)=x2-16x+q+3.
(1)若函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上存在零點,求實數(shù)q的取值范圍;
(2)若記區(qū)間[a,b]的長度為b-a.問:是否存在常數(shù)t(t≥0),當(dāng)x∈[t,10]時,f(x)的值域為區(qū)間D,且D的長度為12-t?請對你所得的結(jié)論給出證明.

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(2013•廣州一模)已知二次函數(shù)f(x)=x2+ax+m+1,關(guān)于x的不等式f(x)<(2m-1)x+1-m2的解集為(m,m+1),其中m為非零常數(shù).設(shè)g(x)=
f(x)x-1

(1)求a的值;
(2)k(k∈R)如何取值時,函數(shù)φ(x)=g(x)-kln(x-1)存在極值點,并求出極值點;
(3)若m=1,且x>0,求證:[g(x+1)]n-g(xn+1)≥2n-2(n∈N*).

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(1)已知二次函數(shù)f(x)的圖象與x軸的兩交點為(2,0),(5,0),且f(0)=10,求f(x)的解析式.
(2)已知二次函數(shù)f(x)的圖象的頂點是(-1,2),且經(jīng)過原點,求f(x)的解析式.

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