Question

【題目】在四面體中，若，則當四面體的體積最大時其外接球表面積為（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

設，可知當四面體的體積最大時，平面平面，計算出，求出四面體的體積，利用導數求出的最大值以及對應的的值，再利用四面體的結構得出計算出外接球的半徑，最后利用球體表面積公式可得出結果.

如下圖，取的中點，連接、，設，

則，當四面體的體積最大時，平面平面，

四面體的體積為，.

令，得，當時，；當時，.

所以，函數在處取得極大值，亦即最大值.

此時，，，設和的外接圓半徑為，由正弦定理得，.

設、的外接圓圓心分別為、，外接球的球心為點，如下圖所示：

在中，，

四邊形是正方形，且邊長為，

所以，四面體的外接球半徑，

因此，該四面體的外接球表面積為，故選：A.