（本題滿分15分）已知正方體的棱長為1，點在上，點在上，且

（1）求直線與平面所成角的余弦值；

（2）用表示平面和側面所成的銳二面角的大小，求；

（3）若分別在上，并滿足，探索：當的重心為且時，求實數(shù)的取值范圍．

 

【答案】

（1）   （2），則（3） .                   

【解析】第一問中利用以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系

設為平面的法向量，又正方體的棱長為1，

借助于，得到結論

第二問中，，是平面的法向量

    ，又平面和側面所成的銳二面角為

    ，則 

第三問中，因為分別在上，且

    故，

所以當的重心為

然后利用垂直關系得到結論。

解：（1）以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系

    又正方體的棱長為1，

    設為平面的法向量

      令，則

   

    設直線與平面所成角為，

    直線與平面所成角的余弦值為          （5分）

    （2），是平面的法向量

    ，又平面和側面所成的銳二面角為

    ，則          （5分）

    （3）因為分別在上，且

    故，

所以當的重心為，而

    ，

當時，

    為恒等式

    所以，實數(shù)的取值范圍為                     （5分）

 

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