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【題目】已知為圓上一動點，在軸，軸上的射影分別為點，，動點滿足，記動點的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）過點的直線與曲線交于，兩點，判斷以為直徑的圓是否過定點？求出定點的坐標；若不是，請說明理由.

【答案】（1）；（2）定點

【解析】

（1）設，，利用所給條件建立關系式，利用點在上可得的方程，即為所求；

（2）設頂點為，設出直線的方程，與橢圓的方程聯立方程組，得到根與系數的關系，以及，利用向量的數量積為0得到恒等式，求得的坐標即可．

（1）設，，則，

由，可得，代入，得，

故曲線的方程為；

（2）假設存在滿足條件的定點，

由對稱性可知該定點必在軸上，設定點為，

當直線的斜率存在時，設直線的方程為，

聯立得，

設，，

則，，

所以，

，

因為，，

所以，

對任意的恒成立，

所以，解得，即定點為，

當直線的斜率不存在時，以為直徑的圓也過點，

故以為直徑的圓過定點.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設拋物線的焦點為，準線為，為拋物線過焦點的弦，已知以為直徑的圓與相切于點.

（1）求的值及圓的方程；

（2）設為上任意一點，過點作的切線，切點為，證明：.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知，函數（是自然對數的底數）．

（Ⅰ）若，證明：曲線沒有經過點的切線；

（Ⅱ）若函數在其定義域上不單調，求的取值范圍；

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸，取相同長度單位建立極坐標系，直線的極坐標方程為.

（Ⅰ）求曲線和直線的直角坐標方程；

（Ⅱ）直線與軸交點為，經過點的直線與曲線交于，兩點，證明：為定值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】從某公司生產線生產的某種產品中抽取1000件，測量這些產品的一項質量指標，由檢測結果得如圖所示的頻率分布直方圖：

（1）求這1000件產品質量指標的樣本平均數和樣本方差 （同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表）；

（2）由直方圖可以認為，這種產品的質量指標值服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數近似為樣本方差.

（i）利用該正態(tài)分布，求；

（ⅱ）已知每件該產品的生產成本為10元，每件合格品（質量指標值）的定價為16元；若為次品（質量指標值），除了全額退款外且每件次品還須賠付客戶48元.若該公司賣出10件這種產品，記表示這件產品的利潤，求.

附：，若，則.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在三棱柱中，，，，分別為棱，的中點.

（1）求證：平面；

（2）若，，，求四棱錐的體積.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某種規(guī)格的矩形瓷磚根據長期檢測結果，各廠生產的每片瓷磚質量都服從正態(tài)分布，并把質量在之外的瓷磚作為廢品直接回爐處理，剩下的稱為正品．

（Ⅰ）從甲陶瓷廠生產的該規(guī)格瓷磚中抽取10片進行檢查，求至少有1片是廢品的概率；

（Ⅱ）若規(guī)定該規(guī)格的每片正品瓷磚的“尺寸誤差”計算方式為：設矩形瓷磚的長與寬分別為、，則“尺寸誤差”為，按行業(yè)生產標準，其中“優(yōu)等”、“一級”、“合格”瓷磚的“尺寸誤差”范圍分別是，、，、，（正品瓷磚中沒有“尺寸誤差”大于的瓷磚），每片價格分別為7.5元、6.5元、5.0元．現分別從甲、乙兩廠生產的該規(guī)格的正品瓷磚中隨機抽取100片瓷磚，相應的“尺寸誤差”組成的樣本數據如下：

尺寸誤差

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

頻數

10

30

30

5

10

5

10

（甲廠瓷磚的“尺寸誤差”頻數表）用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率．

（ⅰ）記甲廠該種規(guī)格的2片正品瓷磚賣出的錢數為（元，求的分布列及數學期望．

（ⅱ）由如圖可知，乙廠生產的該規(guī)格的正品瓷磚只有“優(yōu)等”、“一級”兩種，求5片該規(guī)格的正品瓷磚賣出的錢數不少于36元的概率．

附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則；，，．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數.

（1）若函數的極小值為0，求的值；

（2）且，求證：.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C：(a＞b＞0)，左、右焦點分別為F1(﹣1，0)，F2(1，0)，橢圓離心率為，過點P(4，0)的直線l與橢圓C相交于A、B兩點（A在B的左側）．

（1）求橢圓C的方程；

（2）若B是AP的中點，求直線l的方程；

（3）若B點關于x軸的對稱點是E，證明：直線AE與x軸相交于定點．

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