【題目】已知函數(shù),其中.
(1)若函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為,求的值;
(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),證明:成等差數(shù)列;
(3)若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),對(duì)任意的,不等式恒成立,求的取值范圍.
【答案】(1);(2)見解析;(3)
【解析】
(1)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得解;
(2)由等差數(shù)列的判定,只需證明,代入運(yùn)算即可;
(3)由導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,求函數(shù)的單調(diào)性,再求函數(shù)的最值,解不等式即可得解.
解:(1)由函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為,
得 ,又,
即,
故;
(2)要證成等差數(shù)列,
只需證明,
又函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),則,
+=
= ,
命題得證;
(3)由函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),
得,解得且有兩個(gè)根為,
于是有 ,即,
有兩個(gè)相異的實(shí)根,不妨設(shè)為,
①當(dāng)時(shí),,
函數(shù)在為減函數(shù),在為增函數(shù),
又
所以,
故不等式恒成立,
② 當(dāng)時(shí), ,
函數(shù)在為減函數(shù),在, 為增函數(shù),
由,
故=,
對(duì)于任意的,不等式恒成立,
于是,
又 ,
故,
令
,則 ,
解得,
解得,即,
即
綜上可得的取值范圍為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|x-m|-|2x+2m|(m>0).
(Ⅰ)當(dāng)m=1時(shí),求不等式f(x)≥1的解集;
(Ⅱ)若x∈R,t∈R,使得f(x)+|t-1|<|t+1|,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,取相同長度單位建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.
(Ⅰ)求曲線和直線的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)直線與軸交點(diǎn)為,經(jīng)過點(diǎn)的直線與曲線交于,兩點(diǎn),證明:為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某種規(guī)格的矩形瓷磚根據(jù)長期檢測結(jié)果,各廠生產(chǎn)的每片瓷磚質(zhì)量都服從正態(tài)分布,并把質(zhì)量在之外的瓷磚作為廢品直接回爐處理,剩下的稱為正品.
(Ⅰ)從甲陶瓷廠生產(chǎn)的該規(guī)格瓷磚中抽取10片進(jìn)行檢查,求至少有1片是廢品的概率;
(Ⅱ)若規(guī)定該規(guī)格的每片正品瓷磚的“尺寸誤差”計(jì)算方式為:設(shè)矩形瓷磚的長與寬分別為、,則“尺寸誤差”為,按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn),其中“優(yōu)等”、“一級(jí)”、“合格”瓷磚的“尺寸誤差”范圍分別是,、,、,(正品瓷磚中沒有“尺寸誤差”大于的瓷磚),每片價(jià)格分別為7.5元、6.5元、5.0元.現(xiàn)分別從甲、乙兩廠生產(chǎn)的該規(guī)格的正品瓷磚中隨機(jī)抽取100片瓷磚,相應(yīng)的“尺寸誤差”組成的樣本數(shù)據(jù)如下:
尺寸誤差 | 0 | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.5 | 0.6 |
頻數(shù) | 10 | 30 | 30 | 5 | 10 | 5 | 10 |
(甲廠瓷磚的“尺寸誤差”頻數(shù)表)用這個(gè)樣本的頻率分布估計(jì)總體分布,將頻率視為概率.
(。┯浖讖S該種規(guī)格的2片正品瓷磚賣出的錢數(shù)為(元,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
(ⅱ)由如圖可知,乙廠生產(chǎn)的該規(guī)格的正品瓷磚只有“優(yōu)等”、“一級(jí)”兩種,求5片該規(guī)格的正品瓷磚賣出的錢數(shù)不少于36元的概率.
附:若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則;,,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1ABAC2,AB⊥AC,M是棱BC的中點(diǎn)點(diǎn)P在線段A1B上.
(1)若P是線段A1B的中點(diǎn),求直線MP與直線AC所成角的大;
(2)若是的中點(diǎn),直線與平面所成角的正弦值為,求線段BP的長度.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】
已知函數(shù),且。
(I)試用含的代數(shù)式表示;
(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)令,設(shè)函數(shù)在處取得極值,記點(diǎn),證明:線段與曲線存在異于、的公共點(diǎn)。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】每年春晚都是萬眾矚目的時(shí)刻,這些節(jié)目體現(xiàn)的文化內(nèi)涵、歷史背景等反映了社會(huì)的進(jìn)步.國家的富強(qiáng),人民生活水平的提高等.某學(xué)校高三年級(jí)主任開學(xué)初為了解學(xué)生在看春晚后對(duì)節(jié)目體現(xiàn)的文化內(nèi)涵、歷史背景等是否會(huì)在今年的高考題中體現(xiàn)進(jìn)行過思考,特地隨機(jī)抽取100名高三學(xué)生(其中文科學(xué)生50,理科學(xué)生50名),進(jìn)行了調(diào)查.統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示(不完整):
“思考過” | “沒有思考過” | 總計(jì) | |
文科學(xué)生 | 40 | 10 | |
理科學(xué)生 | 30 | ||
總計(jì) | 100 |
(1)補(bǔ)充完整所給表格,并根據(jù)表格數(shù)據(jù)計(jì)算是否有的把握認(rèn)為看春晚后會(huì)思考節(jié)目體現(xiàn)的文化內(nèi)涵、歷史背景等與文理科學(xué)生有關(guān);
(2)①現(xiàn)從上表的”思考過”的文理科學(xué)生中按分層抽樣選出7人.再從這7人中隨機(jī)抽取4人,記這4人中“文科學(xué)生”的人數(shù)為,試求的分布列與數(shù)學(xué)期望;
②現(xiàn)設(shè)計(jì)一份試卷(題目知識(shí)點(diǎn)來自春晚相關(guān)知識(shí)整合與變化),假設(shè)“思考過”的學(xué)生及格率為,“沒有思考過”的學(xué)生的及格率為.現(xiàn)從“思考過”與“沒有思考過”的學(xué)生中分別隨機(jī)抽取一名學(xué)生進(jìn)行測試,求兩人至少有一個(gè)及格的概率.
附參考公式:,其中.
參考數(shù)據(jù):
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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