【題目】為了解某地網(wǎng)民瀏覽購(gòu)物網(wǎng)站的情況,從該地隨機(jī)抽取100名網(wǎng)民進(jìn)行調(diào)查,其中男性、女性人數(shù)分別為45和55.下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的網(wǎng)民日均瀏覽購(gòu)物網(wǎng)站時(shí)間的頻率分布直方圖,將日均瀏覽購(gòu)物網(wǎng)站時(shí)間不低于40分鐘的網(wǎng)民稱為“網(wǎng)購(gòu)達(dá)人”,已知“網(wǎng)購(gòu)達(dá)人”中女性有10人.
(1)根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認(rèn)為是否為“網(wǎng)購(gòu)達(dá)人”與性別有關(guān);
非網(wǎng)購(gòu)達(dá)人 | 網(wǎng)購(gòu)達(dá)人 | 總計(jì) | |
男 | |||
女 | 10 | ||
總計(jì) |
(2)將上述調(diào)査所得到的頻率視為概率,現(xiàn)在從該地的網(wǎng)民中隨機(jī)抽取3名,記被抽取的3名網(wǎng)民中的“網(wǎng)購(gòu)達(dá)人”的人數(shù)為X,求X的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差.
參考公式:,其中.
參考數(shù)據(jù):
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
【答案】(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析,有把握;(2)分布列見(jiàn)解析,,.
【解析】
(1)根據(jù)頻率分布直方圖可得相關(guān)數(shù)據(jù)填入列聯(lián)表中,再利用卡方系數(shù)的計(jì)算公式,即可得答案;
(2)由頻率分布直方圖知,“網(wǎng)購(gòu)達(dá)人”對(duì)應(yīng)的頻率為,
將頻率視為概率即從該地隨機(jī)抽取1名網(wǎng)民,該網(wǎng)民是“網(wǎng)購(gòu)達(dá)人”的概率為,且X服從二項(xiàng)分布,利用公式可求數(shù)學(xué)期望和方差.
(1)由頻率分布直方圖可知,在抽取的100人中,“網(wǎng)購(gòu)達(dá)人”有
(人).
補(bǔ)充完整的列聯(lián)表如下:
非網(wǎng)購(gòu)達(dá)人 | 網(wǎng)購(gòu)達(dá)人 | 總計(jì) | |
男 | 30 | 15 | 45 |
女 | 45 | 10 | 55 |
合計(jì) | 75 | 25 | 100 |
所以有90%的把握認(rèn)為是否為“網(wǎng)購(gòu)達(dá)人”與性別有關(guān).
(2)由頻率分布直方圖知,“網(wǎng)購(gòu)達(dá)人”對(duì)應(yīng)的頻率為,
將頻率視為概率即從該地隨機(jī)抽取1名網(wǎng)民,該網(wǎng)民是“網(wǎng)購(gòu)達(dá)人”的概率為.
由題意知,
從而X的分布列為
X | 0 | 1 | 2 | 3 |
P |
由二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望與方差公式得
,
,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中, 平面平面,.
(1)求證:平面;
(2)求直線與平面所成角的正弦值;
(3)在棱上是否存在點(diǎn),使得平面?若存在, 求的值;若不存在, 說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2013年5月,華人數(shù)學(xué)家張益唐的論文《素?cái)?shù)間的有界距離》在《數(shù)學(xué)年刊》上發(fā)表,破解了困擾數(shù)學(xué)界長(zhǎng)達(dá)一個(gè)多世紀(jì)的難題,證明了孿生素?cái)?shù)猜想的弱化形式,即發(fā)現(xiàn)存在無(wú)窮多差小于7000萬(wàn)的素?cái)?shù)對(duì).這是第一次有人證明存在無(wú)窮多組間距小于定值的素?cái)?shù)對(duì).孿生素?cái)?shù)猜想是希爾伯特在1900年提出的23個(gè)問(wèn)題中的第8個(gè),可以這樣描述:存在無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù),使得是素?cái)?shù),素?cái)?shù)對(duì)稱為孿生素?cái)?shù).在不超過(guò)16的素?cái)?shù)中任意取出不同的兩個(gè),則可組成孿生素?cái)?shù)的概率為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以直角坐標(biāo)系的點(diǎn)為極點(diǎn),為極軸,且長(zhǎng)度單位相同,建立極坐標(biāo)系,得曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求直線的傾斜角;
(2)若直線與曲線交于,兩點(diǎn),求的長(zhǎng)度.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某連鎖超市旗艦店在元旦當(dāng)天推出一個(gè)購(gòu)物滿百元抽獎(jiǎng)活動(dòng),凡是一次性購(gòu)物滿百元者可以從抽獎(jiǎng)箱中一次性任意摸出2個(gè)小球(抽獎(jiǎng)箱內(nèi)共有5個(gè)小球,每個(gè)小球大小形狀完全相同,這5個(gè)小球上分別標(biāo)有1,2,3,4,5 這5個(gè)數(shù)字).
(1)列出摸出的2個(gè)小球的所有可能的結(jié)果.
(2)已知該超市活動(dòng)規(guī)定:摸出的2個(gè)小球都是偶數(shù)為一等獎(jiǎng);摸出的2個(gè)小球都是奇數(shù)為二等獎(jiǎng).請(qǐng)分別求獲得一等獎(jiǎng)的概率與獲得二等獎(jiǎng)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線,過(guò)的直線與拋物線C交于兩點(diǎn),點(diǎn)A在第一象限,拋物線C在兩點(diǎn)處的切線相互垂直.
(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若點(diǎn)P為拋物線C上異于的點(diǎn),直線均不與軸平行,且直線AP和BP交拋物線C的準(zhǔn)線分別于兩點(diǎn),.
(i)求直線的斜率;
(ⅱ)求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)三棱錐的底面是正三角形,側(cè)棱長(zhǎng)均相等,是棱上的點(diǎn)(不含端點(diǎn)),記直線與直線所成角為,直線與平面所成角為,二面角的平面角為,則( )
A. B.
C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中醫(yī)藥研究所研制出一種新型抗癌藥物,服用后需要檢驗(yàn)血液是否為陽(yáng)性,現(xiàn)有份血液樣本每個(gè)樣本取到的可能性均等,有以下兩種檢驗(yàn)方式:(1)逐份檢驗(yàn),則需要檢驗(yàn)次;(2)混合檢驗(yàn),將其中份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn),若結(jié)果為陰性,則這份的血液全為陰性,因而這份血液樣本只需檢驗(yàn)一次就夠了;若檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性,為了明確這份血液究竟哪份為陽(yáng)性,就需要對(duì)這份再逐份檢驗(yàn),此時(shí)這份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為次假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中,每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果總陽(yáng)性還是陰性都是相互獨(dú)立的,且每份樣本是陽(yáng)性的概率為.
(1)假設(shè)有6份血液樣本,其中只有兩份樣本為陽(yáng)性,若采取遂份檢驗(yàn)的方式,求恰好經(jīng)過(guò)兩次檢驗(yàn)就能把陽(yáng)性樣本全部檢驗(yàn)出來(lái)的概率.
(2)現(xiàn)取其中的份血液樣本,記采用逐份檢驗(yàn)的方式,樣本需要檢驗(yàn)的次數(shù)為;采用混合檢驗(yàn)的方式,樣本簡(jiǎn)要檢驗(yàn)的總次數(shù)為;
(ⅰ)若,試運(yùn)用概率與統(tǒng)計(jì)的知識(shí),求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系,
(ⅱ)若,采用混合檢驗(yàn)的方式需要檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望少,求的最大值(,,,,,)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn),直線:,點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)作直線,為的中垂線,與交于點(diǎn),設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線Γ.
(1)求曲線Γ的方程;
(2)若過(guò)的直線與Γ交于兩點(diǎn),線段的垂直平分線交軸于點(diǎn),求與的比值.
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