Question

如圖所示，已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的3倍且經(jīng)過點(diǎn)M（3，1）．平行于OM的直線l在y軸上的截距為m（m≠0），且交橢圓于A，B兩不同點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）求m的取值范圍；

Answer 1

分析：（1）設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由

a=3b 9 a2 + 1 b2 =1

得

a2=18 b2=2

，由此能夠得到所求橢圓的方程．
（2）由題意可設(shè)直線l方程為：y=

1

3

x+m，由

y= 1 3 x+m x2 18 + y2 2 =1

整理得2x²+6mx+9m²-18=0，然后由根的判別式能夠推導(dǎo)出m的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），

a=3b 9 a2 + 1 b2 =1

⇒

a2=18 b2=2

，所求橢圓的方程為

x2

18

+

y2

2

=1
（2）∵直線l∥OM且在y軸上的截距為m，
∴直線l方程為：y=

1

3

x+m
由

y= 1 3 x+m x2 18 + y2 2 =1

⇒2x²+6mx+9m²-18=0
∵直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，
∴△=（6m）²-4×2（9m²-18）＞0⇒-2＜m＜2
m的取值范圍為-2＜m＜2，且m≠0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和橢圓的位置關(guān)系和基本應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)運(yùn)算，避免不必要錯(cuò)誤的發(fā)生．