Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a，b，c，d∈R，a＞0）其中，f（0）=3，f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（Ⅰ）若f′（-1）=f′（3）=-36，f′（5）=0，求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若c=-6，函數(shù)f（x）的兩個極值點為x₁，x₂滿足-1＜x₁＜1＜x₂＜2．設(shè)λ=a²+b²-6a+2b+10，試求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由于f（0）=3，則d=3，求出導(dǎo)數(shù)后分別代入-1，3，5，得到三個關(guān)系式，解出a，b，c，即可得到函數(shù)f（x）的解析式；
（2）根據(jù)題意知f（x）=ax³+bx²-6x+3，由于函數(shù)f（x）的兩個極值點為x₁，x₂滿足-1＜x₁＜1＜x₂＜2．則得到a與b滿足不等式組

f′(-1)＞0   f′(1)＜0   f′(2)＞0   a＞0

即得到點（a，b）的可行區(qū)域，又由于λ=a²+b²-6a+2b+10=（a-3）²+（b+1）²，依據(jù)其幾何意義，即可求出λ的取值范圍．

解答：（Ⅰ）由于f（0）=3，則d=3，
而f'（x）=3ax²+2bx+c…（1分）
由f′（-1）=f′（3）=-36，f′（5）=0知

3a-2b+c=-36   27a+6b+c=-36   75a+10b+c=0

　　…．（2分）
解得

a=1   b=-3   c=-45

　…（4分）
故f（x）=x³-3x²-45x+3即為所求．…（5分）
（Ⅱ） 據(jù)題意，函數(shù)f（x）=ax³+bx²-6x+3，則f′（x）=3ax²+2bx-6
又x₁，x₂是方程f^′（x）=0的兩根，且-1＜x₁＜1＜x₂＜2，a＞0．
則

f′(-1)＞0   f′(1)＜0   f′(2)＞0   a＞0

  即

3a-2b-6＞0   3a+2b-6＜0   6a+2b-3＞0   a＞0

  …（7分）
則點（a，b）的可行區(qū)域如圖…（10分）
由于λ=a²+b²-6a+2b+10=（a-3）²+（b+1）²，
則λ的幾何意義為點P（a，b）與點A（3，-1）的距離的平方．…．…．（11分）
觀察圖形知點，A到直線3a+2b-6=0的距離的平方d²為λ的最小值　　
而d2=

(3×3-2×1-6)2

32+22

=

1

13

故λ的取值范圍是(

1

13

，+∞)…..（13分）．

點評：此題考查導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用以及線性規(guī)劃的問題，是一道中檔題．