Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）= x3﹣（1+a）x2+4ax+24a，其中常數(shù)a＞1
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）若當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=x2﹣2（1+a）x+4a=（x﹣2）（x﹣2a），

由已知a＞1，∴2a＞2，∴令f′（x）＞0，解得x＞2a或x＜2，

令f′（x）＜0，解得2＜x＜2a，

故當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在區(qū)間（﹣∞，2）和（2a，+∞）上是增函數(shù)，在區(qū)間（2，2a）上是減函數(shù)．

（2）解：由（1）知，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）在x=2a或x=0處取得最小值．

= ，f（0）=24a．

則 即 解得1＜a＜6，

故a的取值范圍是（1，6）．

【解析】（1）先求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)大于0對(duì)應(yīng)的為原函數(shù)的增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)小于0對(duì)應(yīng)的為原函數(shù)的減區(qū)間，即可求f（x）的單調(diào)性；（2）由（1）知，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）在x=2a或x=0處取得最小值，所以須滿足最小值大于0，解不等式組 即可求a的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．