對于兩個定義域相同的函數(shù)f(x),g(x),若存在實數(shù)m、n使h(x)=mf(x)+ng(x),則稱函數(shù)h(x)是由“基函數(shù)f(x),g(x)”生成的.
(1)若f(x)=x2+3x和個g(x)=3x+4生成一個偶函數(shù)h(x),求h(2)的值;
(2)若h(x)=2x2+3x-1由函數(shù)f(x)=x2+ax,g(x)=x+b(a、b∈R且ab≠0)生成,求a+2b的取值范圍;
(3)試利用“基函數(shù)f(x)=log4(4+1)、g(x)=x-1”生成一個函數(shù)h(x),使之滿足下列件:①是偶函數(shù);②有最小值1;求函數(shù)h(x)的解析式并進一步研究該函數(shù)的單調性(無需證明).
【答案】分析:(1)先用待定系數(shù)法表示出偶函數(shù)h(x),再根據(jù)其是偶函數(shù)這一性質得到引入?yún)?shù)的方程,求出參數(shù)的值,即得函數(shù)的解析式,代入自變量求值即可.
(2)先用待定系數(shù)法表示出偶函數(shù)h(x),再根據(jù)同一性建立引入?yún)?shù)的方程求參數(shù),然后再求a+2b的取值范圍;
(3)先用待定系數(shù)法表示出函數(shù)h(x),再根據(jù)函數(shù)h(x)的性質求出相關的參數(shù),代入解析式,由解析研究出其單調性即可
解答:解:(1)設h(x)=m(x2+3x)+n(3x+4)=mx2+3(m+n)x+4n,
∵h(x)是偶函數(shù),∴m+n=0,∴h(2)=4m+4n=0;(4分)
(2)設h(x)=2x2+3x-1=m(x2+ax)+n(x+b)=mx2+(am+n)x+nb

∴a+2b=-=--(8分)
由ab≠0知,n≠3,
∴a+2b∈(11分)
(3)設h(x)=mlog4(4x+1)+n(x-1)
∵h(x)是偶函數(shù),∴h(-x)-h(x)=0,
即mlog4(4-x+1)+n(-x-1)-mlog4(4x+1)-n(x-1)=0
∴(m+2n)x=0得m=-2n(13分)
則h(x)=-2nlog4(4x+1)+n(x-1)=-2n[log4(4x+1)-]=-2n[log4(2x+)+]
∵h(x)有最小值1,則必有n<0,且有-2n=1∴m=1.n=
∴h(x)=log4(2x+)+
h(x)在[0,+∞)上是增函數(shù),在(-∞,0]上是減函數(shù).(18分)
點評:本題考點是函數(shù)的奇偶性與單調性綜合,考查了利用偶函數(shù)建立方程求參數(shù)以及利用同一性建立方程求參數(shù),本題涉及到函數(shù)的性質較多,綜合性,抽象性很強,做題時要做到每一步變化嚴謹,才能保證正確解答本題.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

對于兩個定義域相同的函數(shù)f(x),g(x),若存在實數(shù)m、n使h(x)=mf(x)+ng(x),則稱函數(shù)h(x)是由“基函數(shù)f(x),g(x)”生成的.
(1)若f(x)=x2+3x和個g(x)=3x+4生成一個偶函數(shù)h(x),求h(2)的值;
(2)若h(x)=2x2+3x-1由函數(shù)f(x)=x2+ax,g(x)=x+b(a、b∈R且ab≠0)生成,求a+2b的取值范圍;
(3)試利用“基函數(shù)f(x)=log4(4+1)、g(x)=x-1”生成一個函數(shù)h(x),使之滿足下列件:①是偶函數(shù);②有最小值1;求函數(shù)h(x)的解析式并進一步研究該函數(shù)的單調性(無需證明).

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

對于兩個定義域相同的函數(shù)f(x)、g(x),如果存在實數(shù)m、n使得h(x)=m•f(x)+n•g(x),則稱函數(shù)h(x)是由“基函數(shù)f(x)、g(x)”生成的.
(1)若f(x)=x2+x和g(x)=x+2生成一個偶函數(shù)h(x),求h(
2
)的值;
(2)若h(x)=2x2+3x-1由函數(shù)f(x)=x2+ax,g(x)=x+b(a,b∈R且ab≠0)生成,求a+2b的取值范圍;
(3)如果給定實系數(shù)基函數(shù)f(x)=k1x+b1,g(x)=k2x+b2(k1k2≠0),問:任意一個一次函數(shù)h(x)是否都可以由它們生成?請給出你的結論并說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(本題滿分18分,第(1)小題4分,第(2)小題7分,第(3)小題7分)

對于兩個定義域相同的函數(shù)、,如果存在實數(shù)、使得,則稱函數(shù)是由“基函數(shù)”生成的.

(1)若+2生成一個偶函數(shù),求的值;

(2)若=2+3-1由函數(shù),,∈R且≠0生成,求+2的取值范圍;

(3)如果給定實系數(shù)基函數(shù),≠0,問:任意一個一次函數(shù)是否都可以由它們生成?請給出你的結論并說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源:2011年上海市八校區(qū)重點(新八校)高考數(shù)學二模試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

對于兩個定義域相同的函數(shù)f(x),g(x),若存在實數(shù)m、n使h(x)=mf(x)+ng(x),則稱函數(shù)h(x)是由“基函數(shù)f(x),g(x)”生成的.
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科目:高中數(shù)學 來源:2011年上海市八校區(qū)重點(新八校)高考數(shù)學二模試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

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