Question

已知a為實數(shù)，函數(shù)．
（I）若函數(shù)f（x）的圖象上有與x軸平行的切線，求a的取值范圍；
（II）當時，對任意x₁，x₂∈[-1，0]，不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤m恒成立，試求m的取值范圍．

Answer 1

解：（I）∵，∴
∵函數(shù)f（x）的圖象上有x軸平行的切線，∴f'（x）=0有實數(shù)解∴，∴
因此，實數(shù)a的取值范圍是…（5分）
（II）當
由…（6分）
由
因此，函數(shù)f（x）的單調區(qū)間為；
單調減區(qū)間為…（8分）
由此可知上的最大值為；
上的最大值為．
∴．
因此，任意的x₁x₂∈[-1，0]，恒有
所以m的取值范圍是…（12分）
分析：（I）若函數(shù)f（x）的圖象上有與x軸平行的切線，則f'（x）=0有實數(shù)解，從而可求a的取值范圍；
（II）對任意x₁，x₂∈[-1，0]，不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤m恒成立，可轉化為：對任意x₁，x₂∈[-1，0]，不等式f（x₁）_max-f（x₂）_min≤m恒成立，利用導數(shù)可求．
點評：本題的考點是利用導數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，主要考查導數(shù)的幾何意義，考查恒成立問題，關鍵是將不等式恒成立問題轉化為最值去解決．